Il Paradosso della Ruota di Aristotele

Dopo aver proposto l’ultima volta la soluzione al problema dell’equipotenza di \mathbb{Q} ed \mathbb{N} mi è tornato in mente il Paradosso della Ruota di Aristotele, ora che sia stato veramente proposto da Aristotele è tutto da dimostrare, ma per mantenere un po’ di notazione storica continuiamo pure a chiamarlo così. Osservate il seguente disegno:

Il Paradosso di Aristotele

Notata la “magagna”? Consideriamo la ruota marrone, formata di due cerchi concentrici, il mozzo e il cerchione vero e proprio, in particolare fissiamo l’attenzione sulla traiettoria percorsa da i punti P_1 e P_2. Mentre la ruota gira questi compiono la medesima traiettoria rettilinea! Ovvero se costruiamo un’applicazione (una funzione se vi piace di più) che associa ad ogni punto della ruota che gira il punto del segmento, rosso o blu, percorso rispettivamente da P_1 e da P_2 abbiamo costruito un’applicazione suriettiva ed iniettiva tra le due circonferenze ed il medesimo segmento, ovvero abbiamo appena dimostrato che circonferenze di raggio diverso hanno la stessa lunghezza!. Questo è quello che si dice un disastro completo!

I più squisitamente fisici obietteranno subito che P_2 compie un moto traslatorio, mentre P_1 ne compie uno rotatorio e questo dovrebbe già metterci tutti in allarme, ma cerchiamo una risposta che sia prettamente matematica.

La domanda giusta da porsi è: l’esistenza dell’applicazione f : S^1 \rightarrow I che è suriettiva e iniettiva cosa ci dimostra in realtà? Dimentichiamoci per un momento del concetto di lunghezza e torniamo agli insiemi, per la definizione 1 che abbiamo dato l’altra volta, abbiamo che l’esistenza della f ci garantisce che le cardinalità degli insiemi:

(1)   \begin{eqnarray*} S^1_{r_1} =&  \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_1^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2 \\ S^1_{r_2} =& \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_2^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2\\ I =&  \left\lbrace  x \in \mathbb{R} \, | \,  0 \leq x \leq 2\pi r_2 \right\rbrace \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}

è la medesima, e questo non implica nulla sulla lunghezza! Infatti possiamo dimostrare in modo molto agevole che ogni sottoinsieme di \mathbb{R} che contiene un intervallo (in generale di \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n-\text{volte}}) ha la cardinalità di ogni altro sottoinsieme di \mathbb{R} con la stessa proprietà (in generale di \mathbb{R}^n). Per quello che ci interessa ci basta farlo per un qualunque intervallo di \mathbb{R}, ed è oltremodo semplice, basta infatti costruire una mappa come illustrato in questo disegno:

Equipotenza dei sottinsieme di R

Prendiamo il nostro intervallo I = [a,b], consideriamo il punto Q = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2} \right) e la semicirconferenza di raggio \frac{a+b}{2} centrata in Q che chiamiamo C, adesso consideriamo l’applicazione: \varphi : I \rightarrow C che manda ogni punto P \in I in un punto P' \in C nel seguente modo, si traccia la retta perpendicolare ad I e passante per P, questa interseca la semicirconferenza in un punto P' che è proprio quello cercato. Ci vuol poco a vedere che \varphi è biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi l’intervallo I possiede un numero di punti uguale a quello della circonferenza. Adesso costruiamo la seconda mappa \psi, consideriamo la retta passante per Q e P', questa incontrerà l’asse reale in un unico punto P'' \in \mathbb{R} per ogni punti P' \in C che proviene da un unico punto P \in I. Si vede facilmente che anche questa mappa è biettiva ed è fatta: la mappa \psi \circ \varphi : I \rightarrow \mathbb{R} è la mappa cercata tra un intervallo di \mathbb{R} ed \mathbb{R} stesso.

In questo modo ci siamo spiegati perché quelle due circonferenze sono uguali ad un medesimo segmento e in che senso dobbiamo interpretare la parola uguali in questo caso. Adesso non ci resta che capire perché questo non si adegua al nostro concetto di lunghezza, ovvero dobbiamo prenderci di coraggio e ammettere che l’idea intuitiva di lunghezza come “n° di punti tra A e B” è fin troppo ingenua. Come si fa di solito in matematica diamo una definizione di lunghezza opportuna e constatiamo che questa verifica le proprietà che uno ragionevolmente si aspetta (restringiamoci al piano che è meno pesante da scrivere, si generalizza facilmente allo spazio e a qualsiasi dimensione superiore).

Def. 1 Dati due punti A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2 definiamo lunghezza del segmento A,B la seguente quantità:

(2)   \begin{equation*} L(A,B) = |A - B| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \end{equation*}

Con un paio di facile verifiche, che possono essere tranquillamente lasciate all’audace lettore (era una vita che volevo scriverlo…), si dimostra, diciamo pure si osserva, che se L(A,B) \geq 0 e che L(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B. Che sono due cose che ci piacciano e sono coerenti con l’idea di lunghezza che abbiamo in testa. Adesso però dobbiamo dare, in qualche modo, l’idea di lunghezza di una curva regolare (regolare in questo caso vuol dire che si può disegnare sul foglio senza staccare la penna, senza troppi spigoli puntuti e che non si ingarbugli troppo, qualcosa di idealmente simile alla circonferenza …).

Cominciamo ad osservare che possiamo rappresentare una curva, nei casi buoni di cui stiamo parlando (esistono cose che rientrano comunque sotto il nome di curva e che non ci verrebbe in mente mai di chiamare in questo modo) come un’applicazione: f : I = [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2, di cui il disegno che abbiamo in mente è rappresentato dal sottoinsieme f(I) \subseteq \mathbb{R}^2. Adesso per dire quanto è lunga la curva dobbiamo combinare in modo opportuno la definizione di lunghezza. Consideriamo un insieme di n+1 valori in [a,b] che chiamiamo una partizione così fatto:

(3)   \begin{equation*} a = t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1} < t_n = b \end{equation*}

a cui sono associati i punti P_i sulla curva nel modo ovvio, ovvero P_i = f(t_i) = (f_1(t_i),f_2(t_i)) \forall i = 0,\ldots,n, per farci un’idea basta guardare il seguente disegno:

in cui c’è anche rappresentato come andremo avanti, infatti consideriamo ora la spezzata, poligonale, che collegano i P_i punti, questi sono segmenti, possiamo dunque applicare la nostra definizione di lunghezza e definire la lunghezza della nostra poligonale f_p:

(4)   \begin{equation*} L(f_p) = \sum_{i=0}^{n-1}L(P_i,P_{i+1}) \end{equation*}

La nostra poligonale è un’approssimazione di quella che intendiamo come lunghezza della curva e guardando un po’ il disegno, facendo qualche prova e scribacchiando qualche conto, ci accorgiamo quasi subito che se aumentiamo il numero di punti in cui dividiamo l’intervallo I la L(f_p) si avvicina alla lunghezza effettiva della curva. Nelle ipotesi di regolarità che abbiamo detto possiamo essere sicuri che tutto questo è formalmente corretto ed ha un senso, quindi possiamo ottenere la lunghezza delle nostra curva come limite per n \rightarrow \infty delle lunghezze delle poligonali.

Adesso possiamo far entrare in scena il deus ex machina, quando questo ragionamento che abbiamo fatto ha senso, possiamo scrivere la lunghezza della curva come:

(5)   \begin{equation*} L(f) = \int_{a}^{b} \sqrt{f'_1(t)^2 + f'_2(t)^2}dt \end{equation*}

dove gli apici rappresentano le derivate prime. Per quanto riguarda la circonferenza da cui eravamo partiti basta costruire la curva circonferenza di raggio R come:

(6)   \begin{eqnarray*} f : I = [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ f(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} x = f_1(t) = R\cos(t)\\ y = f_2(t) = R\sin(t) \end{array}\right. \end{eqnarray*}

se ci si mette con un po di pazienza ad applicare la formula (5) a questo caso si ottiene il noto risultato sulla lunghezza della circonferenza.

Aristotele, o chi per lui, aveva posto veramente un gran bel problema per l’intuizione. Un problema la cui soluzione è piuttosto elaborata e comprende il ricordo di ragionamenti all’infinito, che è come al solito un compagno ingannevole, e qualche domanda non banale su quello che pensiamo essere una lunghezza.