Il Teorema di Pitagora

“Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta.”

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

Non sono le 371 dimostrazioni raccolte da Elisha Loomis, ma ne ho raccolte alcune per puro gusto estetico. A chi va buona lettura.

Una dimostrazione Indiana

Tra le più antiche dimostrazioni del teorema che affonda le sue radici nella cultura indiana e si basa sull’equivalenza di aree, sarà sufficiente guardare la figura:

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Nella prima disposizione si vede il quadrato costruito sull’ipotenusa, nella seconda i quadrati costruiti sui due cateti, l’equivalenza della somma dei due con quello dell’ipotenusa deriva dall’aver solo spostato le parti della figura senza ridurne le dimensioni.

Q.E.D.

Una dimostrazione Cinese III a.C.

Questa è una dimostrazione che risale al Zhou bi suan jing, un trattato di astronomia e matematica cinese scritto nel periodo Han. Per illustrala è di nuovo sufficiente osservare i seguenti disegni:

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Si prendono quattro copie del primo triangolo rettangolo in figura, le si dispongono come nella seconda parte del disegno e ci si aggiunge un quadratino a riempire il buco, abbiamo così ottenuto il quadrato costruito sull’ipotenusa, fatto questo si ridispongono le cinque figure, i quattro triangoli e il quadratino, come nella terza parte della figura, ecco comparire i due quadrati costruiti sui cateti. Le due configurazioni hanno la stessa area perché costruite con gli stessi “pezzi”. Dunque il primo quadrato è uguale alla somma degli altri due.

Q.E.D.

La dimostrazione di Euclide III a.C.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo retto eguaglia la somma dei quadrati dei lati che contengono l’angolo retto.

Prop. 48, Libro I – Elementi di Euclide

[singlepic id=206 w=320 h=240 float=left] Sia ABC un triangolo rettangolo con l’angolo  B\widehat{A}C retto. Voglio dimostrare che il quadrato costruito sul lato BC è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati AC e AB.  Si individuino i vertici dei quadrati con lettere come in figura e si tracci la parallela a BD o a CE passante per il punto A, si traccino inoltre i segmenti AD ed FC. Poiché gli angoli B\widehat{A}Ce B\widehat{A}G sono retti, si ha che con il segmento BA, e col punto A su di esso, i segmenti AC e AG non giacciono sullo stesso lato rendendo l’angolo a loro adiacente uguale a due angoli retti, perciò CA è allineato con AG (cioè i punti C,A,G sono sulla stessa linea retta). Similmente si ha che BA è allineato con AH (cioè i punti B,A,H sono sulla stessa linea retta). Poiché l’angolo D\widehat{B}C è uguale all’angolo F\widehat{B}A, ed ognuno dei due è uguale a novanta gradi,  aggiungendo l’angolo A\widehat{B}C ad ognuno si ha che tutto l’angolo D\widehat{B}A è uguale all’angolo F\widehat{B}C, perché somma di angoli congruenti. Poiché DB è uguale a BC, e FB è uguale a BA, i due lati AB e BD sono uguali, rispettivamente, ai due lati FB e BC, e l’angolo A\widehat{B}D è uguale all’angolo F\widehat{B}C, si ha che la base AD è uguale alla base FC, e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC. Ora il parallelogramma in BL è il doppio del triangolo ABD, poiché essi hanno la stessa base BD e sono contenuti tra i lati paralleli BD ed AL. Il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC, poiché, di nuovo, essi hanno in comune la stessa base FB e sono contenuti tra i lati paralleli FB e GC. Perciò il parallelogramma BL è uguale al quadrato in GB. Similmente, se AE e BK vengono collegati, il  parallelogrammo CL viene ad essere uguale al quadrato in  HC. Perciò tutto il quadrato BDEC è uguale alla somma dei due quadrati in GB ed in HC. E il quadrato BDEC è descritto su BC, e i quadrati GB ed HC sono descritti su BA e AC. Perciò il quadrato su BC è uguale alla somma dei quadrati su BA e AC.

Q.E.D.

Una dimostrazione del 1800

Questa volta ecco una dimostrazione in versi di Sir George Biddel Airy, settimo astronomo reale della Corona di Inghilterra, autore di diversi trattati scientifici e acuto osservatore del cielo, si è dilettato anche lui nella dimostrazione del teorema di Pitagora esprimendola con i seguenti versi:

[singlepic id=208 w=230 h=230 float=left] “I am, as you can see,

a^2 + b^2 - ab

When two triangles on me stand,

Square of hypothenuse is plann’d

But if I stand on them instead

The squares of both sides are read.

Se si guardano i due triangoli in basso si vede, tracciato in verde, il quadrato costruito sull’ipotenusa. Se si guardano i due triangoli in alto si vedono, sotto i cateti, i quadrati costruiti in rosso e in giallo.

Q.E.D.

La strada che porta alla realtà, una dimostrazione dall’omonimo libro di Penrose

Questa è una dimostrazione di quelle con qualche difficoltà intorno, particolari che si dovrebbero trattare con qualche attenzione in più, ma che tralascerò volutamente, perché mi porterebbero troppo lontano. Allora perché questa dimostrazione un po’ mutilata? Perché l’ho sempre trovata bella, sempre … da quando l’ho letta. Cominciamo con un primo disegno:

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tasselliamo il piano con due pezzi quadrati, di dimensione diversa. Come si vede è possibile in questo modo ricoprire interamente il piano. Adesso facciamo una seconda mossa, congiungiamo i centri di ognuno dei quadrati “grandi” con quello degli altri mettendoci nella seguente situazione:

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Abbiamo ottenuto degli altri quadrati, di dimensione maggiore di entrambi gli altri, che pur essendo “storti” riescono ancora a ricoprire tutto il piano. Ora resta da fare la terza, ed ultima, manovra. Trasliamo i quadrati facendo combaciare gli spigoli dei quadrati “storti” con quelli dei quadrati grandi e questo è quello che otteniamo:

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Cambiamo per un secondo punto di vista, guardiamo con attenzione i triangoli evidenziati in rosa scuro, ed ecco il Teorema di Pitagora che si mostra.  Le due grosse idee non dimostrate sono la tassellatura e l’esistenza dei quadrati. Ma con un po’ di attenzione e con uno sguardo agli Elementi di Euclide se ne esce.

Q.E.D. (o quasi)

Link&Bibliografia:

– Una Biografia di Pitagora dal sito: MacTutor History Of Mathematics;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione consultabile online;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione scaricabile dal sito LiberLiber;
La Strada che Porta alla Realtà, le leggi fondamentali dell’universo, Roger Penrose.

La musica di Pitagora – Kitty Ferguson

“Tuttavia […] gli elementi di Euclide risuonano di gioia e di apprezzamento per la bellezza dell’argomento che egli stava esplorando, un appagamento che mai nessuno aveva manifestato prima. Benché ci siano matematici moderni che portano avanti l’antica fede pitagorica nella bellezza razionale dei numeri, tendendo ad essere sospettosi quando qualcuno rivendica una verità matematica che non è anche bellezza, è il rigore tecnico euclideo a vigilare sulla porta stessa della bellezza”

Un’opera massiccia che copre un arco di tempo importante, dalla nascita della matematica greca e le biografie di Pitagora, all’avvento del XXI secolo. Dal complesso tentativo di ricostruire la biografia di Pitagora, [singlepic id=251 w=200 h=295 float=left] attraverso le fonti antiche, a quello ancora più complesso di comprendere qual era il suo pensiero  e quali sono state le sue influenze nella storia dell’uomo e nell’umana avventura della scienza. Un libro dettagliato, dettagliatissimo, ben costruito con un impianto coerente di rimandi bibliografici e note. Se si vuole approfondire l’argomento questa è un’ottima base per essere indirizzati ad altri testi che permette di costruire un ottimo punto di vista.

Il fascino del personaggio storico, profondamente avvolto in una rete di leggende, trascina il lettore nella scoperta della “razionalità del mondo“, nella connessione tra numeri, la matematica, e la realtà. Una posizione privilegiata per osservare la scoperta dell’armonia, della musica e dei rapporti. Un luogo da cui vedere la scoperta dell’incommensurabilità, la crisi e la trasformazione del pitagorismo, il suo assorbimento nella filosofia di Platone e tutte le sue trasformazioni. La ricerca della razionalità nel cosmo, l’opera di Tolomeo, la contaminazione di tutte le filosofie, del pensiero, dei modelli educativi con il trivio e il quadrivio. I calcoli di Tycho Brahe, le idee di Keplero che cercava gli accordi e le scale musicali nascoste nel moto dei pianeti. Le sfide teoriche di Galileo e Newton, alla ricerca della struttura matematica del cosmo. Poi ancora verso le rivoluzioni politiche, i circoli e le logge che si riconoscevano come moderne confraternite pitagoriche, l’illuminismo e le filosofie positive. La modernità e la costruzione del paradigma scientifico come modello principe dell’interpretazione del mondo. In tutta questa avventura, della mente umana, si celano quelle prime osservazioni sulla regolarità, sugli schemi ricorrenti nella natura, compiute e portate avanti in un tempo lontano sulle spiagge di Crotone e sui mari della Magna Grecia. Leggere tutto questo, seguire questa catena continua di scoperte, di pensieri e sentirsi veramente come i celebri nani seduti sulle spalle di giganti.

Questo è un libro che richiede la sua buona dose di attenzione, un po’ di spaginare a caccia delle note e qualche pellegrinaggio alla biblioteca o su internet per rivedere e supplire qualche dettaglio di storia e di storia della filosofia. Questi scogli e questo impegno vengono, tuttavia, ripagati dalla scorrevolezza e dalla limpidità dell’esposizione. Insomma, se avete un po’ di sana curiosità e volete scoprire da dove vengono molte belle idee del nostro mondo, questa è un’opera da tenere in considerazione.

Recensione pubblicata anche su: http://lalibreriaimmaginaria.splinder.com/.