Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà.
Martin Gardner
Dunque dunque, con il numero 1 avevamo messo da parte alcune dimostrazioni dell’infinità dei numeri primi. A questo punto, direi, che quel materiale ha fermentato abbastanza e possiamo aggiungere altra carne al fuoco (apprezzare la doppia metafora non coerente, con slittamento banale a vanvera).
Dopo la dimostrazione di Erdös, facciamo un salto indietro nel tempo e torniamo ad una dimostrazione in qualche modo classica, prelevata dalle idee di Pierre de Fermat. Per farlo cominciamo a dare la seguente definizione:
Def 3. Per definiamo Numero di Fermat l’intero positivo della forma:
(1)
Aprendo una piccola cornice storica, Fermat ipotizzo che tutti i numeri di questa forma fosse primo, ma un matematico a caso, Eulero, tanto per dirne uno, osservò che:
- Per
,
, è primo!
- Per
,
, è primo!
- Per
,
, è primo!
- Per
,
, è primo!
- Per
,
, è primo!
- Per
,
, non è primo neanche per niente:
Chiusa la parentesi storica, torniamo al nostro problema ed enunciamo (e dimostriamo) il seguente teorema:
Teorema [Goldbach]. con
si ha
, ovvero due numeri diversi di Fermat sono sempre coprimi.
Dimostrazione. Proviamo in primo luogo, per induzione, che vale la relazione:
(2)
per abbiamo che:
questo prova la base, supponiamo ora che sia vera la relazione per e dimostriamolo per
, cioè vogliamo provare che:
Per farlo poniamo:
Ci siamo dunque ridotti a provare che: . Osserviamo immediatamente che, per l’ipotesi induttiva si ha che:
. E dunque ci siamo ridotti a mostrare che:
. Adesso, applicando di nuovo l’ipotesi induttiva abbiamo che:
, allora:
Con questo abbiamo praticamente completato la dimostrazione, ora ci resta solo da supporre,per assurdo, che per
tale che
e
, per l’identità che abbiamo appena provato si ha che
deve necessariamente dividere
, sia
, cioè deve dividere la loro differenza, ovvero
deve dividere
, ma questo implica che
, ma questo è assurdo! I numeri di Fermat sono, chiaramente, tutti dispari.
Q.E.D.
A questo punto la dimostrazione dell’infinità dei primi è presto ottenuta:
Dimostrazione 3. Per il teorema fondamentale dell’aritmetica abbiamo che esiste un primo
e per il teorema di Goldbach, questo
non divide nessun
per
, dunque il numero dei
e maggiore o uguale del numero degli
, ma questi sono infiniti, dunque abbiamo concluso.
Q.E.D.
Proseguiamo con l’ultima dimostrazione dell’infinità dei primi di questa carrellata. Questa è a base di topologia ed è stata proposta da Harry Fürstenberg nel 1955 [1], di tutte quelle viste è l’unica che probabilmente richiede strumenti di matematica avanzata (diciamo extra-liceo):
Dimostrazione 4. Sia l’insieme dei numeri interi, positivi, negativi e lo
. Consideriamo gli elementi
con
e definiamo gli insiemi a due indici:
Osserviamo immediatamente che è una progressione aritmetica che si sviluppa in ambo i versi e che, inoltre,
si ha che
, il che dovrebbe iniziare a ricordarci l’idea di un intorno in senso topologico, infatti abbiamo che ogni insieme del tipo
contiene ancora
ed è dunque ancora un suo intorno. Inoltre ogni intorno di
contiene un intorno di
che è anche intorno di ognuno dei suoi punti. Resta solo da verificare che l’intersezione di due intorni di un medesimo
è ancora un intorno di
, ma anche questo è semplice da verificarsi, infatti dati
con
abbiamo che:
Possiamo quindi costruire su la seguente topologia:
di cui osserviamo le due seguenti proprietà:
- Ogni insieme aperto
è infinito.
- Ogni insieme aperto
è anche chiuso, infatti:
cioè è chiuso poiché complementare di un aperto (dell’unione di aperti …).
possiamo a questo punto concludere, infatti per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni intero, ad eccezione di e
ha dei fattori primi. Dunque ogni intero è contenuto in uno o più
con
primo. Cioè abbiamo ottenuto l’identità:
(3)
Se l’insieme dei numeri primi fosse, per assurdo, finito l’insieme a destra dell’uguaglianza sarebbe chiuso, poiché unione finita di chiusi (proprietà 2), dunque l’insieme sarebbe aperto, ma questo contraddice la (proprietà 1). L’assurdo deriva dall’aver supposto finito l’insieme dei numeri primi.
Q.E.D.
E pure questa puntata è finita. Sto meditando su un eventuale “Numeri primi – #3“, ma ancora non ho raggiunto una decisione. Prendiamo pure questo come mezzo annuncio e salutiamoci alla prossima!
Bibliografia.
- Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes., Amer. Math. Monthly 62 (5): 353 (1955). DOI:10.2307/2307043.