2012: anno nuovo e numero interessante!

Cosa sarà il 2012 per voi? Dirvelo è mestiere per ciarlatani esoterici: io vi ho raccontato qualcosa di 2012 e, al riguardo, mi limito ad augurarvi un onesto anno nuovo che sia, almeno un po’, men peggiore del 2011 =)

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Dopo aver tanto meditato su come fare gli auguri per il nuovo anno e su come dare una bastonata a quello vecchio per metterlo definitivamente tra gli esimi trapassati, alla fine ho deciso che questo è il modo migliore:

2012 è uno dei numeri di Canyon, ovvero un numero con esattamente una cifra minima locale e due cifre che sono massimi locali non adiacenti. Osservare che i numeri di Canyon sono finiti: sono in tutto 116505 e, come potete ben immaginare, il più grande è: 9876543210123456789

2012 è uno degli anni in cui ci saranno 5 mercoledì nel mese di febbraio, tenetevi forte perché il prossimo sarà niente di meno che il 2040

2012 (e questa è per matematici) appartiene alla serie di McKay-Thompson per le classi 60F di sua maestà il Gruppo Mostro

2012 è uno degli interi n per cui n+1, n+2, n+3 sono esattamente prodotto di tre primi

2012 è uno degli interi non palindromi per cui il prodotto con il suo rovesciato è palindromo: 2012×2102 = 4229224

2012 è tale che 2012! ha un numero di cifre che è un quadrato perfetto… no! non vi scriverò 2012! per farvele contare, non ci basterebbe tutto l’anno…

2012 è un intero n tale che 8 \cdot 10^n - 1 è primo

2012 è uno di quegli interi n che possono essere divisi per il prodotto dei fattoriali delle sue cifre… 2! \cdot 0! \cdot 1! \cdot 2! = 4 | 2012

Cosa sarà il 2012 per voi? Dirvelo è mestiere per ciarlatani esoterici: io vi ho raccontato qualcosa di 2012 e, al riguardo, mi limito ad augurarvi un onesto anno nuovo che sia, almeno un po’,  men peggiore del 2011 =)

[P.S. vi ricordate che il 7 e l’8 Gennaio siamo in scena con gli ZappAttori e La Cantatrice Calva? Date un’occhiata qui!]

[P.P.S l’autore della foto questa volta non sono io, ma lo trovate qui]

Tutto, e di più. Storia compatta dell’infinito – David Foster Wallace

Eccoci di nuovo qui, io un libro e una recensione da scrivere. Il titolo, come al solito, non è di quelli che fanno venire giù i lettori dalle poltrone per accaparrarsi l’agognata copia del tomo, tuttavia, voglio provare a convincervi che questa volta, magari senza caracollarsi giù come una valanga, possa valere la pena di farci un pensierino. [singlepic id=408 w=200 h=297 float=right] Per prima cosa, l’autore, stiamo parlando di David Foster Wallace, che così un po’ a occhio un po’ a memoria, potrebbe essere uno degli autori più recensiti sulla libreria immaginaria, un pezzo da novanta della nuova letteratura e un probabile candidato a diventare, prima o poi, un classico. Annunciato il peccatore, non ci resta che concentrarsi sul peccato, “Tutto, e di più. Storia compatta dell’infinito” è un libro di matematica e di filosofia della matematica, ebbene sì, per te che hai sbarrato gli occhi a quest’ultimo abbinamento di parole, esiste anche la filosofia della matematica, che se già la matematica è una semi-sconosciuta, la filosofia che ci sta dietro vive per lo più in clandestinità, nascosta fra le pieghe della filosofia della scienza. Qui viene il difficile, non farvi chiudere la recensione e relegare il libro al dimenticatoio dopo aver saputo che parla di matematica, se odiate la matematica, o che è scritto da un non-matematico, se siete matematici o con la matematica avete qualcosa a che fare.

Partiamo dalle obiezioni del primo tipo, ma io-odio-la-matematica, ma io-non-la-capisco, in entrambi i casi vi dico, date alla matematica e a Wallace, la possibilità di stupirvi. La scrittura è veramente piacevole e l’argomento è dipanato in modo esemplare e con una chiarezza estrema, tutte le volte che il discorso rischia di impantanarsi in un mare di simboli o di definizioni tecniche, l’autore è bravissimo nel mettere un’osservazione, un rimando  e un incoraggiamento a gettarsi oltre l’ostacolo. Il tutto, peraltro, accompagnato da una battuta brillante o da un aneddoto sulle peripezie del piccolo David da studente e del suo professore di matematica, il mitico e onnipresente Goris. Poi c’è il secondo buon motivo, che è sempre la curiosità, diciamo pure, per essere molto classici, la meraviglia. L’infinito è un tematica indubbiamente affascinante e ascoltarselo raccontare in numero finito di pagine, poi essendo anche accompagnati da una guida d’eccezione che ti mostra gli uomini che ne hanno compiuto la scalata e la conquista, questa è proprio un’occasione da non perdere.

Se adesso, brevemente, riesco a portare a casa anche l’obiezione del secondo tipo, posso dire di avercela quasi fatta. Per chi questi argomenti si è consumato il cervello a studiarli, approfondirli, dipanarli e tirarne fuori le tecniche, la domanda: “cosa me ne faccio di un libro divulgativo?” è spontanea e piuttosto legittima, ammetto di essermela posta anche io all’acquisto. La risposta che voglio dare è: dominare una tecnica e conoscere una teoria non è sufficiente, c’è sempre almeno un punto di vista nuovo da cui è possibile affrontare la lettura. Per essere pertinenti al libro in questione, l’approccio filosofico e l’inserimento nel contesto storico delle soluzioni apre ad una marea di possibili collegamenti che può valer la pena di esplorare, di nuovo, dare fiducia alla bravura dell’autore.

A questo punto la conclusione che, nella grande ottica di fiducia verso l’autore, affido ad una citazione dal libro:

“Però noi dobbiamo vivere e funzionare nel mondo. E quindi astraiamo, compartimentiamo: ci sono che sappiamo e cose che “sappiamo”. Io “so” che il mio amore per mio figlio è una funzione della selezione naturale, ma so di amarlo, e sento e agisco sulla base di ciò che so. Da un punto di vista oggettivo tutta questa faccenda è profondamente schizoide, ma il fatto è che -in quanto profani soggettivi- non percepiamo spesso questo conflitto. […] Stiamo naturalmente parlando di profani come me e voi, non dei giganti della filosofia e della matematica, molti dei quali avevano notoriamente dei problemi ad orientarsi nel mondo reale.”

Buona lettura!

Recensione pubblicata anche su: http://www.lalibreriaimmaginaria.it/

Il Teorema di Pitagora

“Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta.”

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

Non sono le 371 dimostrazioni raccolte da Elisha Loomis, ma ne ho raccolte alcune per puro gusto estetico. A chi va buona lettura.

Una dimostrazione Indiana

Tra le più antiche dimostrazioni del teorema che affonda le sue radici nella cultura indiana e si basa sull’equivalenza di aree, sarà sufficiente guardare la figura:

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Nella prima disposizione si vede il quadrato costruito sull’ipotenusa, nella seconda i quadrati costruiti sui due cateti, l’equivalenza della somma dei due con quello dell’ipotenusa deriva dall’aver solo spostato le parti della figura senza ridurne le dimensioni.

Q.E.D.

Una dimostrazione Cinese III a.C.

Questa è una dimostrazione che risale al Zhou bi suan jing, un trattato di astronomia e matematica cinese scritto nel periodo Han. Per illustrala è di nuovo sufficiente osservare i seguenti disegni:

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Si prendono quattro copie del primo triangolo rettangolo in figura, le si dispongono come nella seconda parte del disegno e ci si aggiunge un quadratino a riempire il buco, abbiamo così ottenuto il quadrato costruito sull’ipotenusa, fatto questo si ridispongono le cinque figure, i quattro triangoli e il quadratino, come nella terza parte della figura, ecco comparire i due quadrati costruiti sui cateti. Le due configurazioni hanno la stessa area perché costruite con gli stessi “pezzi”. Dunque il primo quadrato è uguale alla somma degli altri due.

Q.E.D.

La dimostrazione di Euclide III a.C.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo retto eguaglia la somma dei quadrati dei lati che contengono l’angolo retto.

Prop. 48, Libro I – Elementi di Euclide

[singlepic id=206 w=320 h=240 float=left] Sia ABC un triangolo rettangolo con l’angolo  B\widehat{A}C retto. Voglio dimostrare che il quadrato costruito sul lato BC è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati AC e AB.  Si individuino i vertici dei quadrati con lettere come in figura e si tracci la parallela a BD o a CE passante per il punto A, si traccino inoltre i segmenti AD ed FC. Poiché gli angoli B\widehat{A}Ce B\widehat{A}G sono retti, si ha che con il segmento BA, e col punto A su di esso, i segmenti AC e AG non giacciono sullo stesso lato rendendo l’angolo a loro adiacente uguale a due angoli retti, perciò CA è allineato con AG (cioè i punti C,A,G sono sulla stessa linea retta). Similmente si ha che BA è allineato con AH (cioè i punti B,A,H sono sulla stessa linea retta). Poiché l’angolo D\widehat{B}C è uguale all’angolo F\widehat{B}A, ed ognuno dei due è uguale a novanta gradi,  aggiungendo l’angolo A\widehat{B}C ad ognuno si ha che tutto l’angolo D\widehat{B}A è uguale all’angolo F\widehat{B}C, perché somma di angoli congruenti. Poiché DB è uguale a BC, e FB è uguale a BA, i due lati AB e BD sono uguali, rispettivamente, ai due lati FB e BC, e l’angolo A\widehat{B}D è uguale all’angolo F\widehat{B}C, si ha che la base AD è uguale alla base FC, e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC. Ora il parallelogramma in BL è il doppio del triangolo ABD, poiché essi hanno la stessa base BD e sono contenuti tra i lati paralleli BD ed AL. Il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC, poiché, di nuovo, essi hanno in comune la stessa base FB e sono contenuti tra i lati paralleli FB e GC. Perciò il parallelogramma BL è uguale al quadrato in GB. Similmente, se AE e BK vengono collegati, il  parallelogrammo CL viene ad essere uguale al quadrato in  HC. Perciò tutto il quadrato BDEC è uguale alla somma dei due quadrati in GB ed in HC. E il quadrato BDEC è descritto su BC, e i quadrati GB ed HC sono descritti su BA e AC. Perciò il quadrato su BC è uguale alla somma dei quadrati su BA e AC.

Q.E.D.

Una dimostrazione del 1800

Questa volta ecco una dimostrazione in versi di Sir George Biddel Airy, settimo astronomo reale della Corona di Inghilterra, autore di diversi trattati scientifici e acuto osservatore del cielo, si è dilettato anche lui nella dimostrazione del teorema di Pitagora esprimendola con i seguenti versi:

[singlepic id=208 w=230 h=230 float=left] “I am, as you can see,

a^2 + b^2 - ab

When two triangles on me stand,

Square of hypothenuse is plann’d

But if I stand on them instead

The squares of both sides are read.

Se si guardano i due triangoli in basso si vede, tracciato in verde, il quadrato costruito sull’ipotenusa. Se si guardano i due triangoli in alto si vedono, sotto i cateti, i quadrati costruiti in rosso e in giallo.

Q.E.D.

La strada che porta alla realtà, una dimostrazione dall’omonimo libro di Penrose

Questa è una dimostrazione di quelle con qualche difficoltà intorno, particolari che si dovrebbero trattare con qualche attenzione in più, ma che tralascerò volutamente, perché mi porterebbero troppo lontano. Allora perché questa dimostrazione un po’ mutilata? Perché l’ho sempre trovata bella, sempre … da quando l’ho letta. Cominciamo con un primo disegno:

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tasselliamo il piano con due pezzi quadrati, di dimensione diversa. Come si vede è possibile in questo modo ricoprire interamente il piano. Adesso facciamo una seconda mossa, congiungiamo i centri di ognuno dei quadrati “grandi” con quello degli altri mettendoci nella seguente situazione:

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Abbiamo ottenuto degli altri quadrati, di dimensione maggiore di entrambi gli altri, che pur essendo “storti” riescono ancora a ricoprire tutto il piano. Ora resta da fare la terza, ed ultima, manovra. Trasliamo i quadrati facendo combaciare gli spigoli dei quadrati “storti” con quelli dei quadrati grandi e questo è quello che otteniamo:

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Cambiamo per un secondo punto di vista, guardiamo con attenzione i triangoli evidenziati in rosa scuro, ed ecco il Teorema di Pitagora che si mostra.  Le due grosse idee non dimostrate sono la tassellatura e l’esistenza dei quadrati. Ma con un po’ di attenzione e con uno sguardo agli Elementi di Euclide se ne esce.

Q.E.D. (o quasi)

Link&Bibliografia:

– Una Biografia di Pitagora dal sito: MacTutor History Of Mathematics;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione consultabile online;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione scaricabile dal sito LiberLiber;
La Strada che Porta alla Realtà, le leggi fondamentali dell’universo, Roger Penrose.

La musica di Pitagora – Kitty Ferguson

“Tuttavia […] gli elementi di Euclide risuonano di gioia e di apprezzamento per la bellezza dell’argomento che egli stava esplorando, un appagamento che mai nessuno aveva manifestato prima. Benché ci siano matematici moderni che portano avanti l’antica fede pitagorica nella bellezza razionale dei numeri, tendendo ad essere sospettosi quando qualcuno rivendica una verità matematica che non è anche bellezza, è il rigore tecnico euclideo a vigilare sulla porta stessa della bellezza”

Un’opera massiccia che copre un arco di tempo importante, dalla nascita della matematica greca e le biografie di Pitagora, all’avvento del XXI secolo. Dal complesso tentativo di ricostruire la biografia di Pitagora, [singlepic id=251 w=200 h=295 float=left] attraverso le fonti antiche, a quello ancora più complesso di comprendere qual era il suo pensiero  e quali sono state le sue influenze nella storia dell’uomo e nell’umana avventura della scienza. Un libro dettagliato, dettagliatissimo, ben costruito con un impianto coerente di rimandi bibliografici e note. Se si vuole approfondire l’argomento questa è un’ottima base per essere indirizzati ad altri testi che permette di costruire un ottimo punto di vista.

Il fascino del personaggio storico, profondamente avvolto in una rete di leggende, trascina il lettore nella scoperta della “razionalità del mondo“, nella connessione tra numeri, la matematica, e la realtà. Una posizione privilegiata per osservare la scoperta dell’armonia, della musica e dei rapporti. Un luogo da cui vedere la scoperta dell’incommensurabilità, la crisi e la trasformazione del pitagorismo, il suo assorbimento nella filosofia di Platone e tutte le sue trasformazioni. La ricerca della razionalità nel cosmo, l’opera di Tolomeo, la contaminazione di tutte le filosofie, del pensiero, dei modelli educativi con il trivio e il quadrivio. I calcoli di Tycho Brahe, le idee di Keplero che cercava gli accordi e le scale musicali nascoste nel moto dei pianeti. Le sfide teoriche di Galileo e Newton, alla ricerca della struttura matematica del cosmo. Poi ancora verso le rivoluzioni politiche, i circoli e le logge che si riconoscevano come moderne confraternite pitagoriche, l’illuminismo e le filosofie positive. La modernità e la costruzione del paradigma scientifico come modello principe dell’interpretazione del mondo. In tutta questa avventura, della mente umana, si celano quelle prime osservazioni sulla regolarità, sugli schemi ricorrenti nella natura, compiute e portate avanti in un tempo lontano sulle spiagge di Crotone e sui mari della Magna Grecia. Leggere tutto questo, seguire questa catena continua di scoperte, di pensieri e sentirsi veramente come i celebri nani seduti sulle spalle di giganti.

Questo è un libro che richiede la sua buona dose di attenzione, un po’ di spaginare a caccia delle note e qualche pellegrinaggio alla biblioteca o su internet per rivedere e supplire qualche dettaglio di storia e di storia della filosofia. Questi scogli e questo impegno vengono, tuttavia, ripagati dalla scorrevolezza e dalla limpidità dell’esposizione. Insomma, se avete un po’ di sana curiosità e volete scoprire da dove vengono molte belle idee del nostro mondo, questa è un’opera da tenere in considerazione.

Recensione pubblicata anche su: http://lalibreriaimmaginaria.splinder.com/.