Il Teorema di Pitagora

“Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta.”

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

Non sono le 371 dimostrazioni raccolte da Elisha Loomis, ma ne ho raccolte alcune per puro gusto estetico. A chi va buona lettura.

Una dimostrazione Indiana

Tra le più antiche dimostrazioni del teorema che affonda le sue radici nella cultura indiana e si basa sull’equivalenza di aree, sarà sufficiente guardare la figura:

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Nella prima disposizione si vede il quadrato costruito sull’ipotenusa, nella seconda i quadrati costruiti sui due cateti, l’equivalenza della somma dei due con quello dell’ipotenusa deriva dall’aver solo spostato le parti della figura senza ridurne le dimensioni.

Q.E.D.

Una dimostrazione Cinese III a.C.

Questa è una dimostrazione che risale al Zhou bi suan jing, un trattato di astronomia e matematica cinese scritto nel periodo Han. Per illustrala è di nuovo sufficiente osservare i seguenti disegni:

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Si prendono quattro copie del primo triangolo rettangolo in figura, le si dispongono come nella seconda parte del disegno e ci si aggiunge un quadratino a riempire il buco, abbiamo così ottenuto il quadrato costruito sull’ipotenusa, fatto questo si ridispongono le cinque figure, i quattro triangoli e il quadratino, come nella terza parte della figura, ecco comparire i due quadrati costruiti sui cateti. Le due configurazioni hanno la stessa area perché costruite con gli stessi “pezzi”. Dunque il primo quadrato è uguale alla somma degli altri due.

Q.E.D.

La dimostrazione di Euclide III a.C.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo retto eguaglia la somma dei quadrati dei lati che contengono l’angolo retto.

Prop. 48, Libro I – Elementi di Euclide

[singlepic id=206 w=320 h=240 float=left] Sia ABC un triangolo rettangolo con l’angolo  B\widehat{A}C retto. Voglio dimostrare che il quadrato costruito sul lato BC è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati AC e AB.  Si individuino i vertici dei quadrati con lettere come in figura e si tracci la parallela a BD o a CE passante per il punto A, si traccino inoltre i segmenti AD ed FC. Poiché gli angoli B\widehat{A}Ce B\widehat{A}G sono retti, si ha che con il segmento BA, e col punto A su di esso, i segmenti AC e AG non giacciono sullo stesso lato rendendo l’angolo a loro adiacente uguale a due angoli retti, perciò CA è allineato con AG (cioè i punti C,A,G sono sulla stessa linea retta). Similmente si ha che BA è allineato con AH (cioè i punti B,A,H sono sulla stessa linea retta). Poiché l’angolo D\widehat{B}C è uguale all’angolo F\widehat{B}A, ed ognuno dei due è uguale a novanta gradi,  aggiungendo l’angolo A\widehat{B}C ad ognuno si ha che tutto l’angolo D\widehat{B}A è uguale all’angolo F\widehat{B}C, perché somma di angoli congruenti. Poiché DB è uguale a BC, e FB è uguale a BA, i due lati AB e BD sono uguali, rispettivamente, ai due lati FB e BC, e l’angolo A\widehat{B}D è uguale all’angolo F\widehat{B}C, si ha che la base AD è uguale alla base FC, e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC. Ora il parallelogramma in BL è il doppio del triangolo ABD, poiché essi hanno la stessa base BD e sono contenuti tra i lati paralleli BD ed AL. Il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC, poiché, di nuovo, essi hanno in comune la stessa base FB e sono contenuti tra i lati paralleli FB e GC. Perciò il parallelogramma BL è uguale al quadrato in GB. Similmente, se AE e BK vengono collegati, il  parallelogrammo CL viene ad essere uguale al quadrato in  HC. Perciò tutto il quadrato BDEC è uguale alla somma dei due quadrati in GB ed in HC. E il quadrato BDEC è descritto su BC, e i quadrati GB ed HC sono descritti su BA e AC. Perciò il quadrato su BC è uguale alla somma dei quadrati su BA e AC.

Q.E.D.

Una dimostrazione del 1800

Questa volta ecco una dimostrazione in versi di Sir George Biddel Airy, settimo astronomo reale della Corona di Inghilterra, autore di diversi trattati scientifici e acuto osservatore del cielo, si è dilettato anche lui nella dimostrazione del teorema di Pitagora esprimendola con i seguenti versi:

[singlepic id=208 w=230 h=230 float=left] “I am, as you can see,

a^2 + b^2 - ab

When two triangles on me stand,

Square of hypothenuse is plann’d

But if I stand on them instead

The squares of both sides are read.

Se si guardano i due triangoli in basso si vede, tracciato in verde, il quadrato costruito sull’ipotenusa. Se si guardano i due triangoli in alto si vedono, sotto i cateti, i quadrati costruiti in rosso e in giallo.

Q.E.D.

La strada che porta alla realtà, una dimostrazione dall’omonimo libro di Penrose

Questa è una dimostrazione di quelle con qualche difficoltà intorno, particolari che si dovrebbero trattare con qualche attenzione in più, ma che tralascerò volutamente, perché mi porterebbero troppo lontano. Allora perché questa dimostrazione un po’ mutilata? Perché l’ho sempre trovata bella, sempre … da quando l’ho letta. Cominciamo con un primo disegno:

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tasselliamo il piano con due pezzi quadrati, di dimensione diversa. Come si vede è possibile in questo modo ricoprire interamente il piano. Adesso facciamo una seconda mossa, congiungiamo i centri di ognuno dei quadrati “grandi” con quello degli altri mettendoci nella seguente situazione:

[singlepic id=271 w=320 h=240 float=center]

Abbiamo ottenuto degli altri quadrati, di dimensione maggiore di entrambi gli altri, che pur essendo “storti” riescono ancora a ricoprire tutto il piano. Ora resta da fare la terza, ed ultima, manovra. Trasliamo i quadrati facendo combaciare gli spigoli dei quadrati “storti” con quelli dei quadrati grandi e questo è quello che otteniamo:

[singlepic id=272 w=320 h=240 float=center]

Cambiamo per un secondo punto di vista, guardiamo con attenzione i triangoli evidenziati in rosa scuro, ed ecco il Teorema di Pitagora che si mostra.  Le due grosse idee non dimostrate sono la tassellatura e l’esistenza dei quadrati. Ma con un po’ di attenzione e con uno sguardo agli Elementi di Euclide se ne esce.

Q.E.D. (o quasi)

Link&Bibliografia:

– Una Biografia di Pitagora dal sito: MacTutor History Of Mathematics;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione consultabile online;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione scaricabile dal sito LiberLiber;
La Strada che Porta alla Realtà, le leggi fondamentali dell’universo, Roger Penrose.

Il Curriculum Standard di Matematica per la Scuola

httpv://www.youtube.com/watch?v=0-r59Iyx6-0

MATEMATICA ALLA SCUOLA INFERIORE. Comincia l’indottrinamento. Gli studenti imparano che la matematica non è qualcosa che si fa, ma qualcosa che viene fatto a te. L’enfasi è posta sullo stare seduti fermi, riempire fogli, e seguire direttive. Ai bambini si richiede di saper padroneggiare una serie complessa di algoritmi per manipolare simboli indiani, scollegati da qualunque reale desiderio o curiosità da parte loro, e considerati soltanto pochi secoli fa troppo difficili anche per un adulto medio. Grande enfasi viene data alle tabelle di moltiplicazioni, tanto che i genitori, gli insegnanti, e i bambini stessi sono stressati [gioco di parole con stress che in inglese significa sia enfatizzato che stressato psicologicamente, N.d.T.].

MATEMATICA ALLA SCUOLA MEDIA. Agli studenti viene insegnato a vedere la matematica come una serie di procedure, simili a riti religiosi, che sono eterni e scolpiti nella pietra. Le sacre tavole, o “Libri di Matematica”, sono esposte, e gli studenti imparano a dare del “Loro” ai capi più anziani della chiesa (come nelle frasi “Che cosa vogliono qui?” “Vogliono che io divida?”). Saranno introdotti “word problem” artefatti ed artificiali tanto da far sembrare a confronto divertente il faticoso lavoro insensato dell’aritmetica. Gli studenti saranno sottoposti a verifica su un’ampia gamma di inutili termini tecnici, come “numero intero” e “frazione propria”, senza la minima motivazione per operare tali distinzioni. Eccellente preparazione per Algebra I.

ALGEBRA I. Per non perdere tempo prezioso a pensare ai numeri e ai loro schemi, questo corso concentra invece la sua attenzione sui simboli e sulle regole per la loro manipolazione. Lo scorrevole flusso narrativo che va dai problemi sulle tavolette degli antichi popoli mesopotamici all’arte elevata degli esperti di algebra del Rinascimento è scartato in favore di una fastidiosa riproposizione frammentaria postmoderna di un racconto senza personaggi, trama o tema. L’insistenza che tutti i numeri e le espressioni si presentino in varie forme predefinite procurerà ancora più confusione sul significato di identità e di uguaglianza. Gli studenti devono anche memorizzare la formula delle equazioni di secondo grado per non ben precisati motivi.

GEOMETRIA. Isolata dal resto del curriculum, questo corso solleverà le speranze degli studenti che vogliono impegnarsi in una attività matematica che abbia senso, e poi le abbatterà. Sarà introdotta una simbologia rozza e fuorviante, e non sarà risparmiato alcuno sforzo per far sembrare complicato ciò che è semplice. L’obiettivo di questo corso è quello di sradicare qualunque impronta residua di naturale intuizione matematica, in preparazione ad ALGEBRA II.

ALGEBRA II. L’argomento di questo corso è l’uso immotivato e inappropriato della geometria analitica. Le sezioni coniche sono inserite in un sistema di coordinate così da evitare la semplicità estetica dei coni e delle loro sezioni. Gli studenti impareranno a riscrivere forme quadratiche in una varietà di forme predefinite, senza alcun motivo. Anche le funzioni esponenziali e logaritmiche vengono introdotte nell’ALGEBRA II, nonostante non siano oggetti algebrici, semplicemente perché devono essere messi da qualche parte, a quanto pare. Il nome del corso è scelto per rinforzare la mitologia della scala a pioli. Perché la Geometria si posizioni tra l’Algebra I e la sua prosecuzione resta un mistero.

TRIGONOMETRIA. Due settimane di contenuti sono prolungate per la durata di un semestre da masturbatori giri di definizioni. A fenomeni veramente interessanti e belli, quali il modo in cui la misura dei lati di un triangolo dipenda dai suoi angoli, viene data la stessa enfasi che a irrilevanti abbreviazioni e obsolete convenzioni simboliche, in modo da impedire agli studenti di farsi una chiara idea di ciò in cui consiste la materia. Gli studenti impareranno trucchetti del tipo “SohCahToa” [acronimi per ricordarsi le leggi trigonometriche: SOH:Sine equals Opposite over Hypotenuse. CAH: Cosine equals Adjacent over Hypotenuse. TOA: Tangent equals Opposite over Adjacent, N.d.T.] invece di sviluppare una naturale sensibilità intuitiva per l’orientamento e la simmetria. La misura di angoli e lati dei triangoli sarà discussa senza far cenno alla natura trascendente delle funzioni trigonometriche, o i conseguenti problemi linguistici e filosofici relativi all’effettuare tali misurazioni. È richiesto l’uso delle calcolatrici, in modo da confondere ulteriormente questi argomenti.

PRE-ANALISI. Un insensato guazzabuglio di argomenti sconnessi. Prevalentemente un tentativo malriuscito di introdurre i metodi analitici del tardo diciannovesimo secolo in situazioni in cui non sono né necessari né utili. Le definizioni tecniche di “limiti” e “continuità” sono presentate per oscurare la nozione intuitivamente chiara di cambiamento uniforme. Come suggerisce il nome, questo corso prepara gli studenti per il corso di Analisi, in cui sarà completata la fase finale del sistematico offuscamento di qualsiasi idea naturale connessa alla forma e al movimento.

ANALISI. Questo corso esplorerà la matematica del movimento, e i modi migliori per seppellirla sotto una montagna di inutile formalismo. Nonostante esso sia un’introduzione tanto al calcolo differenziale quanto al calcolo integrale, le idee semplici e profonde di Newton e Leibniz saranno lasciate da parte in favore del più sofisticato approccio basato sulle funzioni, sviluppato in risposta alle varie crisi analitiche che non si applicano affatto a questo scenario, e che ovviamente non saranno menzionate. Pronto per essere ripreso al college, parola per parola.

Eccola qui. Una prescrizione completa per rendere permanentemente inabili le giovani menti – una cura efficace contro la curiosità. Ecco che cosa hanno fatto alla matematica!

Lamento di un matematico di Paul Lockhart
(Traduzione di Fausta Zibetti)

Se vi è piaciuto questo estratto potete scaricare da leggere il resto qui. Poi vi spiego, sempre che non lo sappiate già, cosa c’entra il video. Tanto per capire come hanno ridotto la matematica.

Quante regine su di una scacchiera?

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(Luigi Mussini – “Sfida scacchistica alla corte del Re di Spagna” (1883))

Storia di un campione di scacchi.

Il gioco degli scacchi è antico, molto antico, tuttavia non smette di affascinare. Ad esempio nel quadro del Mussini che apre l’articolo è ricordata la vittoria scacchistica di Giò Leonardo Di Bona alla corte di Filippo II, Re di Spagna. Questa è una storia che proviene da lontano. Era il 1560 e il giovane Leonardo si trovò a giocare a Roma contro Ruy Lopez. Fù una sconfitta, ma egli dimostrò una predispozione e una mente adatta al gioco degli scacchi, una trascrizione di quello che resta della partita si trova qui). Dopo questa prima sconfitta si trasferisce a Napoli e lì inizia a studiare il gioco, diventa bravo, molto bravo. Tanto da raggiungere il livello necessario a sfidare il campione italiano: Paolo Boi, detto il Siracusano. Anche questa volta Giò subisce una sconfitta, tuttavia le sue abilità sono molto cresciute. Il giovane scacchista, detto il “puttino”, decise di far ritorno nel suo paese natale: Cutro. Quando vi giunse trovò ad aspettarlo una triste notizia, suo fratello era stato rapito da alcuni pirati saraceni. Leonardo decide di sfidare a scacchi il comandante dei pirati per ottenere il rilascio del fratello, questi accetta e viene sconfitto dal giovane, così il puttino torna a casa con la vita di suo fratello e 200 ducati, una cifra ragguardevole per l’epoca, ottenuti dal pirata in segno di ammirazione per le sue abilità. Nel 1574 Leonardo iniziò a viaggiare per l’Europa. A Madrid ebbe occasione di incontrare una sua vecchia conoscenza, il cardinale Ruy Lopez. Questa volta la sfida fra i due si celebrò di fronte a Filippo II di Spagna avendo un nuovo esito, Leonardo riuscì a sconfiggere il cardinale, qui e qui le trascrizioni di ciò che resta della partita,  e venne insignito dal Re del titolo di Campione di Scacchi d’Europa. Oltre l’onorificenza, Filippo tentò di retribuire con moneta sonante l’impresa dello scacchista, tuttavia questi rifiutò e chiedendo in cambio che il suo paese Cutro si vedesse riconosciuto lo status di Città e venisse esentato dal pagamento delle tasse per vent’anni. Dopo questo periodo felice il campione di scachi è costretto a fare ritorno a Cutro a causa del precario stato di salute della moglie, che muore prima che lui possa raggiungerla.  Dopo questo lutto venne invitato dal re di Portogallo per giocare contro uno scacchista arabo che sconfigge facilmente inaugurando così un periodo di rinnovata felicità, che, tuttavia, non era destinato a durare. Nel 1597 alla corte del principe di Bisignano, un paese oggi in provincia di Cosenza, morì avvelenato da un avversario invidioso del suo successo.

Regine e scacchiere.

Il gioco di cui voglio parlare è base di scacchi, ma in una variante più matematica, ovvero, volendo darne una formulazione:

“Come si possono disporre n regine su di una scacchiera nxn senza che nessuna di esse sia in posizione tale da poter mangiarne un’altra in una sola mossa?”

[singlepic id=114 w=200 h=200 float=right] Per prima cosa diamo una rispolverata a come può muoversi una regina usando l’agevole illustrazione presa dalle Regole degli scacchi FIDE. La soluzione di questo problema è dovuta a S. Günther, per chi fosse interessato ad una biografia la trova qui, e si basa sull’uso del determinante di una matrice con cui rappresentare la scacchiera. Per prima cosa si deve costruire la matrice nel seguente modo:
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Ovvero, facendo sì che stesso simbolo e stesso indice giacciano lungo le traiettorie dell’alfiere, ovvero le diagonali. Per calcolare il determinante di questa matrice poi facciamo riferimento alla formula di Leibniz (anche nota come formula esplicita per il calcolo del determinante):
[singlepic id=117 w=257 h=56 float=center]
Ogni termine in questa formula contiene uno ed un solo elemento di ogni riga ed uno ed un solo elemento di ogni colonna, questo fa sì che è sufficiente scegliere il termine in cui ogni lettera e ogni suffisso non appaiono più di una volta. Questa sarà la configurazione adatta! Tuttavia c’è un problema, partendo direttamente dalla classica scacchiera 8×8 il termine da cercare, una volta calcolato il determinante, sarà in mezzo a 8!… 8! è un numero abbastanza elevato, è infatti uguale a 8!=8x7x6x5x4x3x2x1=40320. Cercare di attaccare direttamente il problema in questo modo è laborioso, pieno di calcoli e richiede un tempo elevato. Una strategia migliore è quella di partire dalla prima scacchiera in cui il problema è risolvibile, ovvero una scacchiera 4×4 e, determinata una soluzione in quel caso, aggiungere ogni volta una riga e una colonna ampliando la soluzione di partenza. Questo è fattibile poiché 4!=24, quindi i termini da cercare non sono poi tanti. In questa maniera si riesce ad ottenere una soluzione della 8×8, ad esempio:

[singlepic id=118 w=350 h=350 float=center]

Una lista del numero di soluzioni, a meno di simmetrie della scacchiera, è:

Dim. Scacchiera 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 9×9 10×10
N° Soluzioni 1 2 1 6 12 46 92

Auguro un buon divertimento a tutti quelli che vorranno andare a caccia delle altre soluzioni!

Link, fonti, materiale vario.

Deliri 4D

Non c’è nulla di più pericoloso dello starsene sdraiati a contemplare una parete bianca. Non c’è dubbio, queste sono le occasioni in cui accade sempre l’inaspettato. Ad esempio, mentre, prima, sì prima è un po’ impreciso, ma va bene lo stesso, osservavo la parete ho visto una sfera materializzarsi a mezz’aria. Va bè, che c’è di strano? Niente di particolare in effetti, solo che lei, la sfera, ha cominciato a ingrandirsi e, arrivata ad un certo raggio, rimpicciolirsi, per poi sparire del tutto. Curioso no? Anche se la risposta è no andrò avanti. In quel momento mi è venuta in mente un’immagine che avevo visto su di un libro, questa:

[singlepic id=101 w=320 h=204 float=center]

E allora? Bè, intanto l’immagine arriva da Flatlandia, il meraviglioso mondo a due dimensioni inventato da Edwin Abbott Abbott (qualora voleste leggere il romanzo lo trovate http://xahlee.org/flatland/index.html, ovviamente in lingua originale). Cosa rappresenta? Dovrebbe essere abbastanza ovvio, ma guardiamola meglio. Se voi foste un quadrato che vive su di un piano, che è un’ipotesi del tutto plausibile, avreste sensibilità unicamente di ciò che è alla vostra “sinistra” o alla vostra “destra”, alto e basso non avrebbero senso, no? Bè, ovviamente oltre il vostro piccolo, ma infinito, piano ci sarebbe lo spazio a 3 dimensioni che lo contiene, in cui magari una sfera, che è universalmente nota per essere una persona giocosa, si potrebbe divertire a passare attraverso il vostro piano per spaventarvi. Cosa vedreste in tal caso? Un punto che si allarga piano piano fino a diventare un cerchio, poi il cerchio si restringe e sparisce, che è quello che è rappresentato nel disegno. Se poi vi dovesse piacere un  punto di vista più animato, sarebbe una cosa del genere:

httpv://www.youtube.com/watch?v=LgKmWBjzXIs

(Per chi fosse interessato, l’animazione è fatta con Geogebra), che è una schematizzazione di cosa è accaduto, senza scendere nei particolari della fisiologia degli occhi 2d dei quadrati, particolari che esulano dalle mie conoscenze di fisiologia delle forme geometriche.

Cosa c’entra tutto questo con la sfera? O sì ecco, bè il fatto che la sfera si allargasse e restringesse mi ha fatto venire in mente che forse quella che ho visto non era proprio una sfera… guardate questa figura:

[singlepic id=102 w=300 h=273 float=center]

Li avete riconosciuti? Sono {O,x,y,z}, un sistema di riferimento cartesiano, però c’è anche un intruso, un certo signor k. Bene immagine che anche k abbia la dignità di asse, ovvero che sia anche lui perpendicolare a tutti e tre gli altri. Non è possibile? Ovviamente in 3 dimensioni non si può fare, è come parlare di “sopra” o “sotto” al quadrato di prima, come a lui sembrava strano sembra strano anche noi, però allora ci siamo ricordati che il piano di mr. quadrato è immerso nello spazio a 3 dimensioni, ora  dobbiamo immaginare che il nostro spazio a 3 dimensioni sia immerso in uno a quattro. Ovvero sia dentro un spazio in cui è possibile avere un riferimento {O,x,y,z,k} con {x,y,z,k} tutti perpendicolari fra di loro, ecco questo è lo spazio a quattro dimensioni. Ora pensiamo a una burlona sorella maggiore di quella sfera che faceva gli scherzi a mr. quadrato, un’Iper-sfera, lei è un signor solido a quattro dimensioni. Riuscite a indovinare cosa vedremmo se lei si tuffasse attraverso il nostro spazio a 3 dimensioni? Ah avete indovinato! Una sfera che appare prima come un punto, che si gonfia fino ad un raggio massimo e si rimpicciolisce per poi sparire di nuovo, quindi una cosa del genere (fare click sull’immagine per ingrandirla e far partire l’animazione):

[singlepic id=103 w=320 h=240 float=center]

(Di nuovo, ai tecnici a cui potrebbe interessare i grafici sono fatti con Gnuplot e l’animazione con Gimp). Se voi altri ne incontrate un’altra osservando il vuoto provate ad afferrarla e a farvi trascinare in uno spazio di dimensione superiore, nel caso dovesse sgusciare via almeno provate a farvi fare un autografo! Fatemi sapere =)