Il Paradosso della Ruota di Aristotele

Dopo aver proposto l’ultima volta la soluzione al problema dell’equipotenza di \mathbb{Q} ed \mathbb{N} mi è tornato in mente il Paradosso della Ruota di Aristotele, ora che sia stato veramente proposto da Aristotele è tutto da dimostrare, ma per mantenere un po’ di notazione storica continuiamo pure a chiamarlo così. Osservate il seguente disegno:

Il Paradosso di Aristotele

Notata la “magagna”? Consideriamo la ruota marrone, formata di due cerchi concentrici, il mozzo e il cerchione vero e proprio, in particolare fissiamo l’attenzione sulla traiettoria percorsa da i punti P_1 e P_2. Mentre la ruota gira questi compiono la medesima traiettoria rettilinea! Ovvero se costruiamo un’applicazione (una funzione se vi piace di più) che associa ad ogni punto della ruota che gira il punto del segmento, rosso o blu, percorso rispettivamente da P_1 e da P_2 abbiamo costruito un’applicazione suriettiva ed iniettiva tra le due circonferenze ed il medesimo segmento, ovvero abbiamo appena dimostrato che circonferenze di raggio diverso hanno la stessa lunghezza!. Questo è quello che si dice un disastro completo!

I più squisitamente fisici obietteranno subito che P_2 compie un moto traslatorio, mentre P_1 ne compie uno rotatorio e questo dovrebbe già metterci tutti in allarme, ma cerchiamo una risposta che sia prettamente matematica.

La domanda giusta da porsi è: l’esistenza dell’applicazione f : S^1 \rightarrow I che è suriettiva e iniettiva cosa ci dimostra in realtà? Dimentichiamoci per un momento del concetto di lunghezza e torniamo agli insiemi, per la definizione 1 che abbiamo dato l’altra volta, abbiamo che l’esistenza della f ci garantisce che le cardinalità degli insiemi:

(1)   \begin{eqnarray*} S^1_{r_1} =&  \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_1^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2 \\ S^1_{r_2} =& \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_2^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2\\ I =&  \left\lbrace  x \in \mathbb{R} \, | \,  0 \leq x \leq 2\pi r_2 \right\rbrace \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}

è la medesima, e questo non implica nulla sulla lunghezza! Infatti possiamo dimostrare in modo molto agevole che ogni sottoinsieme di \mathbb{R} che contiene un intervallo (in generale di \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n-\text{volte}}) ha la cardinalità di ogni altro sottoinsieme di \mathbb{R} con la stessa proprietà (in generale di \mathbb{R}^n). Per quello che ci interessa ci basta farlo per un qualunque intervallo di \mathbb{R}, ed è oltremodo semplice, basta infatti costruire una mappa come illustrato in questo disegno:

Equipotenza dei sottinsieme di R

Prendiamo il nostro intervallo I = [a,b], consideriamo il punto Q = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2} \right) e la semicirconferenza di raggio \frac{a+b}{2} centrata in Q che chiamiamo C, adesso consideriamo l’applicazione: \varphi : I \rightarrow C che manda ogni punto P \in I in un punto P' \in C nel seguente modo, si traccia la retta perpendicolare ad I e passante per P, questa interseca la semicirconferenza in un punto P' che è proprio quello cercato. Ci vuol poco a vedere che \varphi è biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi l’intervallo I possiede un numero di punti uguale a quello della circonferenza. Adesso costruiamo la seconda mappa \psi, consideriamo la retta passante per Q e P', questa incontrerà l’asse reale in un unico punto P'' \in \mathbb{R} per ogni punti P' \in C che proviene da un unico punto P \in I. Si vede facilmente che anche questa mappa è biettiva ed è fatta: la mappa \psi \circ \varphi : I \rightarrow \mathbb{R} è la mappa cercata tra un intervallo di \mathbb{R} ed \mathbb{R} stesso.

In questo modo ci siamo spiegati perché quelle due circonferenze sono uguali ad un medesimo segmento e in che senso dobbiamo interpretare la parola uguali in questo caso. Adesso non ci resta che capire perché questo non si adegua al nostro concetto di lunghezza, ovvero dobbiamo prenderci di coraggio e ammettere che l’idea intuitiva di lunghezza come “n° di punti tra A e B” è fin troppo ingenua. Come si fa di solito in matematica diamo una definizione di lunghezza opportuna e constatiamo che questa verifica le proprietà che uno ragionevolmente si aspetta (restringiamoci al piano che è meno pesante da scrivere, si generalizza facilmente allo spazio e a qualsiasi dimensione superiore).

Def. 1 Dati due punti A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2 definiamo lunghezza del segmento A,B la seguente quantità:

(2)   \begin{equation*} L(A,B) = |A - B| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \end{equation*}

Con un paio di facile verifiche, che possono essere tranquillamente lasciate all’audace lettore (era una vita che volevo scriverlo…), si dimostra, diciamo pure si osserva, che se L(A,B) \geq 0 e che L(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B. Che sono due cose che ci piacciano e sono coerenti con l’idea di lunghezza che abbiamo in testa. Adesso però dobbiamo dare, in qualche modo, l’idea di lunghezza di una curva regolare (regolare in questo caso vuol dire che si può disegnare sul foglio senza staccare la penna, senza troppi spigoli puntuti e che non si ingarbugli troppo, qualcosa di idealmente simile alla circonferenza …).

Cominciamo ad osservare che possiamo rappresentare una curva, nei casi buoni di cui stiamo parlando (esistono cose che rientrano comunque sotto il nome di curva e che non ci verrebbe in mente mai di chiamare in questo modo) come un’applicazione: f : I = [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2, di cui il disegno che abbiamo in mente è rappresentato dal sottoinsieme f(I) \subseteq \mathbb{R}^2. Adesso per dire quanto è lunga la curva dobbiamo combinare in modo opportuno la definizione di lunghezza. Consideriamo un insieme di n+1 valori in [a,b] che chiamiamo una partizione così fatto:

(3)   \begin{equation*} a = t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1} < t_n = b \end{equation*}

a cui sono associati i punti P_i sulla curva nel modo ovvio, ovvero P_i = f(t_i) = (f_1(t_i),f_2(t_i)) \forall i = 0,\ldots,n, per farci un’idea basta guardare il seguente disegno:

in cui c’è anche rappresentato come andremo avanti, infatti consideriamo ora la spezzata, poligonale, che collegano i P_i punti, questi sono segmenti, possiamo dunque applicare la nostra definizione di lunghezza e definire la lunghezza della nostra poligonale f_p:

(4)   \begin{equation*} L(f_p) = \sum_{i=0}^{n-1}L(P_i,P_{i+1}) \end{equation*}

La nostra poligonale è un’approssimazione di quella che intendiamo come lunghezza della curva e guardando un po’ il disegno, facendo qualche prova e scribacchiando qualche conto, ci accorgiamo quasi subito che se aumentiamo il numero di punti in cui dividiamo l’intervallo I la L(f_p) si avvicina alla lunghezza effettiva della curva. Nelle ipotesi di regolarità che abbiamo detto possiamo essere sicuri che tutto questo è formalmente corretto ed ha un senso, quindi possiamo ottenere la lunghezza delle nostra curva come limite per n \rightarrow \infty delle lunghezze delle poligonali.

Adesso possiamo far entrare in scena il deus ex machina, quando questo ragionamento che abbiamo fatto ha senso, possiamo scrivere la lunghezza della curva come:

(5)   \begin{equation*} L(f) = \int_{a}^{b} \sqrt{f'_1(t)^2 + f'_2(t)^2}dt \end{equation*}

dove gli apici rappresentano le derivate prime. Per quanto riguarda la circonferenza da cui eravamo partiti basta costruire la curva circonferenza di raggio R come:

(6)   \begin{eqnarray*} f : I = [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ f(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} x = f_1(t) = R\cos(t)\\ y = f_2(t) = R\sin(t) \end{array}\right. \end{eqnarray*}

se ci si mette con un po di pazienza ad applicare la formula (5) a questo caso si ottiene il noto risultato sulla lunghezza della circonferenza.

Aristotele, o chi per lui, aveva posto veramente un gran bel problema per l’intuizione. Un problema la cui soluzione è piuttosto elaborata e comprende il ricordo di ragionamenti all’infinito, che è come al solito un compagno ingannevole, e qualche domanda non banale su quello che pensiamo essere una lunghezza.

Soluzioni di 2 quesiti dalla 2° Prova di Matematica.

Nonostante io sia uscito da un po’ dal delirio liceale mi diverto sempre a buttare uno sguardo ai quesiti della prova di matematica. Ogni anno rilevano qualche bella sorpresa riguardo ciò che uno studente dovrebbe inventarsi lì per lì. Quest’anno la mia attenzione se la sono guadagnata i due seguenti quesiti:

  1. L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.
  2. Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

Cominciamo a risolvere il primo. Per farlo abbiamo necessariamente bisogno di un argomento matematico noto come “Procedimento Diagonale di Cantor“, che veramente pochi studenti del liceo avranno visto. Comunque, cominciamo con ordine rispolverando le definizioni che servono:

Def. 1: Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) o sono equipotenti se è possibile stabilire tra di essi una corrispondenza biunivoca.

Def. 2: Un insieme si dice avere la potenza del numerabile (o che è numerabile) se si può porre in corrispondenza biunivoca con \NN.

Possiamo quindi riformulare il problema come:

Thm. L’insieme \QQ dei numeri razionali ha la potenza del numerabile.

Dim. Dobbiamo quindi costruire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali \NN e \QQ. Per farlo procediamo nel seguente modo, disponiamo tutti gli elementi di \QQ nel seguente modo:

(1)   \begin{equation*} \begin{tabular}{ccccccc} $\displaystyle \frac{1}{1}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle\frac{1}{3}$ & $\displaystyle\frac{1}{4}$ & $\displaystyle\frac{1}{5}$ & $\displaystyle\frac{1}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{2}{1}$ & $\displaystyle\frac{2}{2}$ & $\displaystyle\frac{2}{3}$ & $\displaystyle\frac{2}{4}$ & $\displaystyle\frac{2}{5}$ & $\displaystyle\frac{2}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{3}{1}$ & $\displaystyle\frac{3}{2}$ & $\displaystyle\frac{3}{3}$ & $\displaystyle\frac{3}{4}$ & $\displaystyle\frac{3}{5}$ & $\displaystyle\frac{3}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\ \end{tabular}\end{equation*}

a questo punto mettiamo in moto l’intuizione geniale di Cantor, consideriamo le diagonali D_j, se chiamiamo a_{i,j} gli elementi della tabella di riga i-\text{ma} e colonna j-\text{ma} abbiamo che le diagonali sono del tipo:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} D_j = & \left\lbrace a_{j,1},a_{j-1,2},a_{j-2,3},\ldots \right\rbrace = \\ = & \left\lbrace a_{h,k} \, | \, h+k=j+1 \right\rbrace \end{split} \end{equation*}

a questo punto osserviamo che ogni elemento a_{h,k} appartiene ad una ed una sola diagonale (precisamente alla diagonale D_{h+k-1}) e stabiliamo la seguente corrispondenza tra gli elementi \QQ ed \NN, prestando attenzione di far seguire ad ogni elemento presente nella tabella il suo opposto (così esauriamo sia gli \QQ positivi che quelli negativi):

(3)   \begin{equation*}\begin{tabular}{ccccccc} 0 & \displaystyle \frac{1}{1} & \displaystyle - \frac{1}{1} & \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle - \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{2}{1}  & \ldots \\ \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  & \ldots \end{tabular}\end{equation*}

Volendo fare uno disegno chiarificatore del procedimento:

Abbiamo quindi costruito un’applicazione biunivoca tra \QQ ed \NN, allora per la def. 1 abbiamo ottenuto che \QQ ha la potenza del numerabile.

Q.E.D.

Passiamo a risolvere ora il problema di Erone, questo si può dimostrare almeno in due modi, o per meglio dire mi sono venuti in mente per ora due modi per dimostrarlo. Il primo, che scarterò subito dopo averlo detto, è di parametrizzare tutto in modo analitico, scriversi un generico punto P \in r e parametrizzare come f(x) = d(A,P) + d(B,P), farne la derivata, verificare dove ha un minimo e fissare così le coordinate del punto P. Non ci ho provato, ma sicuramente questo porta alla soluzione in un tempo finito (modulo errori di calcolo e derivate di radici). L’altra strada, che prediligo, consiste nel ricordarsi che sul piano euclideo la retta minimizza la distanza tra due punti. Riflettere il punto B rispetto alla retta r e chiamarlo B' tracciare il segmento \overline{AB'} e chiamare C = \overline{AB'} \cap r. A questo punto si osserva che, detto E = \overline{BB'}\cap r, i triangoli BCE e B'CE sono congruenti ed è fatta. Per chi ha un po’ di dimestichezza con l’ottica abbiamo praticamente ri-dimostrato il principio di Fermat sugli angoli di riflessione, per un raggio di luce incidente su uno specchio.

Il seguente disegno è chiarificante dei passaggi descritti:

Cliccando sull’immagine si scarica il file geogebra modificabile in cui si possono muovere i punti A e B e vedere come cambia lunghezza del tragitto da A a B spostando il punto C' sulla retta r rispetto a quello ottimale.

Per curiosità, se qualche maturando passa di qui e legge, fatemi sapere quanti conoscevano il Procedimento Diagonale di Cantor per averlo fatto a lezione. Perché tolti quelli, sinceramente, dubito che qualcun altro se lo sia inventato lì per lì. Se l’avete fatto appena finite con la maturità correte ad iscrivervi ad una facoltà di matematica.

Ars Ripetendi – Assurdario (Parte 1)

Assurdario, parola che temo di aver appena inventato, di  frasi e situazioni prodotte tentando di inculcare la matematica e  la scienza a qualche giovane virgulto:

[singlepic id=439 w=200 h=269 float=right]Un evergreen le equazioni di secondo grado:
Ripetente
(Da ora in poi abbreviato RIP, con piacevole ambiguità del termine): “Ho fatto il compito in classe però c’era un’equazione troppo difficile che non sono riuscito a fare”
Io: “Va bene, fammi vedere.”
Rip: “Ecco, guarda.”, mi porge un foglio con un’equazione di secondo grado con un po’ di conti da fare che, anomalia delle anomalie, è in t.
Io: (ingenuo) “va bene, ma cosa ha di strano?”
Rip: “C’è la t, io le so fare solo con la x”

Alle prese con le disequazioni:
Io: “Allora adesso dobbiamo risolvere: 4k < 1, come facciamo?”
Rip: Un silenzio denso di ignoranza…
Io: “Dai ne abbiamo fatte tante, non è difficile!”
Rip: “Ok devo portare 4 di là (indica col dito) giusto?”
Io: “Perfetto, dai fallo”
Rip: (Prende la penna scrive e mi guarda con la stessa intensità di un pesce lesso) “Allora è: k < 5, giusto?”

Un’altra perla dal settore disequazioni:
Io: (Dopo 20 minuti di interminabili conti) “Dai adesso siamo arrivati in fondo, ora viene la parte facile, quali sono le soluzioni di x^2 > -1?”
Rip: (sicuro della sua risposta) “Si è facile è x > 1”
Io: “Sei sicuro? Prova a sostituire, ad esempio ‘-3’, alla x”
Rip: “Viene 9 > – 1”
Io: “Ed è vero?”
Rip: “Sì”
Io: “Quindi?”
Rip: “Quindi x > 1”
Io: “Ma scusami x^2 che numero è? Cioè voglio dire, come numero, com’è? Sempre p…?”
Rip: “Ma è una x, non è un numero…”
Io: “Sì, ma sta al posto di un numero, com’è il quadrato di un numero? è sempre posi…?”
Rip: “Positivo?”
Io: “E allora?”
Rip: “x > -1?”
Io: “Stai sparando a caso di nuovo, se ho qui un numero positivo e qui un numero negativo, quando è che un numero positivo è maggiore di un numero negativo?”
Rip: “Ahh quando è maggiore di zero!”

Le dimostrazioni per assurdo:
Io: “Adesso abbiamo dimostrato che la perpendicolare da un punto ad una retta esiste, dobbiamo quindi mostrare che è unica, procediamo per assurdo: supponiamo che la perpendicolare non sia unica e disegniamo dal punto P due perpendicolari alla retta r…”
Rip: “Ma questa non è perpendicolare, come faccio a disegnare due perpendicolari da un punto ad una retta? Non si può!”
Io: “Questo è quello che vogliamo dimostrare, il fatto che io e te non siamo capaci di disegnarle, in linea di principio, non vuol dire che non sia possibile farlo, hai capito?”
Rip: “Sì, ma questa non è perpendicolare.”
Io: “Ok, infatti, noi supponiamo per assurdo che lo sia, lo supponiamo noi”
Rip: “Ma perché?”
Io: “Perché questo genererà una contraddizione da qualche parte che ci farà capire che, necessariamente, la perpendicolare deve essere unica.”
Rip: “Euclide non aveva proprio niente di meglio da fare”

E con questa terminerei la prima puntata, anche perché a ripensarci rientro sull’orlo dell’esaurimento nervoso. Appena mi riprendo di coraggio e forze ne produco qualcun’altra, sperando sempre di vederle diminuire… povero Euclide sob, sob…

P.S. Ho appena pensato di mettere una simpatica foto di un matematico a corredo e non so bene perché il primo della lista è il caro vecchio Hilbert.

Discorso sulla matematica – Gabriele Lolli

“Perché le frasi della matematica sono formule, questo termine nel parlato comune ha due significati, entrambi presenti nell’uso matematico, da una parte la formula indica l’essenza condensata in una o poche parole, pochi elementi che dicono tutto. Dall’altra la formula è l’evocazione del segreto di una magia.”

Partiamo dal titolo intero del libro: “Discorso sulla matematica. Una rilettura delle Lezioni Americane di Italo Calvino”.  Se non avete letto le Lezioni di Calvino cessate in questo momento qualsiasi cosa voi stiate facendo, recuperatele, mettetevi sulla vostra [singlepic id=438 w=200 h=345 float=left]poltrona preferita e leggetele, poi, magari, tornate qui. Fatto? Bene! Ora possiamo tornare a noi.

Gabriele Lolli, di professione Filosofo della Matematica, insegna presso la Scuola Normale Superiore di Pisa. Autore di svariati libri di divulgazione della Matematica, della Logica in particolare, ha deciso di cimentarsi in questo libro in un’opera piuttosto ambiziosa: costruire una biezione tra i valori della letteratura raccolti nelle lezioni di Calvino e i medesimi tratti nella costruzione e nel procedere del pensiero matematico.

I temi delle sei lezioni, di cui, purtroppo, Calvino pote completarne solo le prime cinque sono: Leggerezza, Rapidità, Esattezza, Visibilità, Molteplicità e Consistenza. Analizzando ognuno di questi concetti, senza tralasciar mai di spendere due parole sul loro opposto, non si potrebbe parlare di leggerezza senza spendere almeno due parole sul peso, Lolli ricostruisce e ricuce insieme quello scisma del pensiero contemporaneo, soprattutto italiano, che vede una frattura insanabile tra la letteratura e la matematica, più in generale, tra le possibilità dell’arte e il linguaggio della scienza. A titolo di esempio, come la Letteratura ha spesso il ruolo di calderone in cui ricomporre in sé le più disparate esperienze del vissuto, la Matematica tende a raccogliere nelle forme del suo linguaggio di simboli e figure i più disparati concetti e i più disparati modelli da tutti i settori della scienza. Ambedue si occupano spesso di concetti quali l’infinito, l’indefinito e di come rapportarsi ad esso, per approfittare di una citazione dal libro: “[…] se l’indefinito da piacere a Leopardi perché non lo fa sentire legato, l’esattezza formale sostituisce per il matematico all’indefinito vago fluttuare di tutte le possibili interpretazioni l’infinito nascosto nella forma.

Come avrete già notato da queste due citazioni, il discorso è scorrevole e in linguaggio riesce ad evitare elegantemente i tecnicismi, soprattutto matematici, non da nulla per scontato e spiega con la giusta dose di particolari tutto quello che introduce, riuscendo a non cadere nella trappola dell’elefantiasi delle note. Come ho detto all’inizio per decidere di cimentarsi con questo libro è necessario aver letto le Lezioni di Calvino e possibilmente tenerle a portata di mano per gettare uno sguardo qua e là.

Nel complesso, come se a questo punto non si fosse capito, vi dico che il libro è veramente da leggere sia per quei matematici, quei cultori delle scienze in generale, che credono che i letterati non siano altro che spolvera liberi a tradimento, sia per quei letterati che ritengono i matematici, ed in generale gli uomini di scienza, dei pedanti dai piedi di piombo e senza un briciolo di fantasia o immaginazione. Direi che è giunto il momento di ricomporre questa frattura e riconoscere come un’unica entità la letteratura e la matematica e, più in generale, l’arte classica  e la scienza.

Per concludere una piccola perla dagli archivi Rai:

httpv://www.youtube.com/watch?v=fpvLGfe2gj8

Recensione pubblicata anche su: http://www.lalibreriaimmaginaria.it

2012: anno nuovo e numero interessante!

Cosa sarà il 2012 per voi? Dirvelo è mestiere per ciarlatani esoterici: io vi ho raccontato qualcosa di 2012 e, al riguardo, mi limito ad augurarvi un onesto anno nuovo che sia, almeno un po’, men peggiore del 2011 =)

[singlepic id=414 w=420 h=281 float=center]

Dopo aver tanto meditato su come fare gli auguri per il nuovo anno e su come dare una bastonata a quello vecchio per metterlo definitivamente tra gli esimi trapassati, alla fine ho deciso che questo è il modo migliore:

2012 è uno dei numeri di Canyon, ovvero un numero con esattamente una cifra minima locale e due cifre che sono massimi locali non adiacenti. Osservare che i numeri di Canyon sono finiti: sono in tutto 116505 e, come potete ben immaginare, il più grande è: 9876543210123456789

2012 è uno degli anni in cui ci saranno 5 mercoledì nel mese di febbraio, tenetevi forte perché il prossimo sarà niente di meno che il 2040

2012 (e questa è per matematici) appartiene alla serie di McKay-Thompson per le classi 60F di sua maestà il Gruppo Mostro

2012 è uno degli interi n per cui n+1, n+2, n+3 sono esattamente prodotto di tre primi

2012 è uno degli interi non palindromi per cui il prodotto con il suo rovesciato è palindromo: 2012×2102 = 4229224

2012 è tale che 2012! ha un numero di cifre che è un quadrato perfetto… no! non vi scriverò 2012! per farvele contare, non ci basterebbe tutto l’anno…

2012 è un intero n tale che 8 \cdot 10^n - 1 è primo

2012 è uno di quegli interi n che possono essere divisi per il prodotto dei fattoriali delle sue cifre… 2! \cdot 0! \cdot 1! \cdot 2! = 4 | 2012

Cosa sarà il 2012 per voi? Dirvelo è mestiere per ciarlatani esoterici: io vi ho raccontato qualcosa di 2012 e, al riguardo, mi limito ad augurarvi un onesto anno nuovo che sia, almeno un po’,  men peggiore del 2011 =)

[P.S. vi ricordate che il 7 e l’8 Gennaio siamo in scena con gli ZappAttori e La Cantatrice Calva? Date un’occhiata qui!]

[P.P.S l’autore della foto questa volta non sono io, ma lo trovate qui]