Numeri primi – #2

Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà.
Martin Gardner

Dunque dunque, con il numero 1 avevamo messo da parte alcune dimostrazioni dell’infinità dei numeri primi. A questo punto, direi, che quel materiale ha fermentato abbastanza e possiamo aggiungere altra carne al fuoco (apprezzare la doppia metafora non coerente, con slittamento banale a vanvera).

Dopo la dimostrazione di Erdös, facciamo un salto indietro nel tempo e torniamo ad una dimostrazione in qualche modo classica, prelevata dalle idee di Pierre de Fermat. Per farlo cominciamo a dare la seguente definizione:

Def 3. Per \forall n \in \NN definiamo Numero di Fermat l’intero positivo della forma:

(1)   \begin{equation*} F_n = 2^{2^n} + 1 \end{equation*}

Aprendo una piccola cornice storica, Fermat ipotizzo che tutti i numeri di questa forma fosse primo, ma un matematico a caso, Eulero, tanto per dirne uno, osservò che:

  • Per n = 0, F_0 = 3, è primo!
  • Per n = 1, F_1 = 5, è primo!
  • Per n = 2, F_2 = 17, è primo!
  • Per n = 3, F_3 = 257, è primo!
  • Per n = 4, F_4 = 65537, è primo!
  • Per n = 5, F_5 = 4294967297, non è primo neanche per niente: F_5 = 641 \cdot 6700417

Chiusa la parentesi storica, torniamo al nostro problema ed enunciamo (e dimostriamo) il seguente teorema:

Teorema [Goldbach]. \forall n,n' \in N con n \neq n' si ha \operatorname{M.C.D.}(F_n,F_{n'})=1, ovvero due numeri diversi di Fermat sono sempre coprimi.

Dimostrazione. Proviamo in primo luogo, per induzione, che vale la relazione:

(2)   \begin{equation*} F_n = F_0 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} + 2 \;\; \forall n \geq 1 \end{equation*}

per n = 1 abbiamo che:

    \begin{equation*} F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5 = 2^1 + 1 + 2 = 5 . \end{equation*}

questo prova la base, supponiamo ora che sia vera la relazione per n e dimostriamolo per n+1, cioè vogliamo provare che:

    \begin{equation*} F_0 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} \cdot F_n + 2 = F_(n+1). \end{equation*}

Per farlo poniamo:

    \begin{eqnarray*} x = F_0 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}\\ y = F_0 \cdot F_1 * \cdot \ldots \cdot F_(n-1) \cdot F_n \end{eqnarray*}

Ci siamo dunque ridotti a provare che:  y + 2 = F_{n+1}. Osserviamo immediatamente che, per l’ipotesi induttiva si ha che:  y = x (x+2). E dunque ci siamo ridotti a mostrare che:  x (x+2) + 2 = F_{n+1}. Adesso, applicando di nuovo l’ipotesi induttiva abbiamo che:  x = F_{n - 2}, allora:

    \begin{equation*} \begin{split} x  (x+2) + 2 = & [(F_{n - 2})  ((F_{n - 2} + 2)] + 2 = \\ = & [(F_{n - 2}  F_n] + 2 =  \\ = & (F_n)^2 - 2F_n + 2 = \\ = & (2^{2^n} + 1)  (2^{2^n} + 1) - 2  (2^{2^n} + 1) + 2  =  \\ = & 2^{2^n}  2^{2^n} + 2\cdot 2^{2^n} + 1 - 2 \cdot 2^{2^n} - 2 + 2 = \\ = & 2^{2^n} \cdot 2^{2^n} + 1 = 2^{2^n + 2^n} + 1 = \\ = & 2^{2\cdot (2^n)} + 1 = \\ = & 2^{2^{n+1}} + 1 = F_{n+1} \end{split} \end{equation*}

Con questo abbiamo praticamente completato la dimostrazione, ora ci resta solo da supporre,per assurdo, che per 0 \leq i < j \exists \; a > 1 tale che a | F_i e a | F_j, per l’identità che abbiamo appena provato si ha che a deve necessariamente dividere F_0\cdot \ldots \codt F_{j-1}, sia F_j, cioè deve dividere la loro differenza, ovvero a deve dividere 2, ma questo implica che a = 2, ma questo è assurdo! I numeri di Fermat sono, chiaramente, tutti dispari.

Q.E.D.

A questo punto la dimostrazione dell’infinità dei primi è presto ottenuta:

Dimostrazione 3. Per il teorema fondamentale dell’aritmetica abbiamo che \forall n \in N esiste un primo p_n | F_n e per il teorema di Goldbach, questo p_n non divide nessun F_{n'} per n \neq n', dunque il numero dei p_n e maggiore o uguale del numero degli F_n, ma questi sono infiniti, dunque abbiamo concluso.

Q.E.D.

Proseguiamo con l’ultima dimostrazione dell’infinità dei primi di questa carrellata. Questa è a base di topologia ed è stata proposta da Harry Fürstenberg nel 1955 [1], di tutte quelle viste è l’unica che probabilmente richiede strumenti di matematica avanzata (diciamo extra-liceo):

Dimostrazione 4. Sia \ZZ l’insieme dei numeri interi, positivi, negativi e lo 0. Consideriamo gli elementi a,b \in \ZZ con b>0 e definiamo gli insiemi a due indici:

    \begin{equation*} N_{a,b} = \{ a + nb \;|\; n \in \ZZ\} \end{equation*}

Osserviamo immediatamente che N_{a,b} è una progressione aritmetica che si sviluppa in ambo i versi e che, inoltre, \forall b si ha che a \in N_{a,b}, il che dovrebbe iniziare a ricordarci l’idea di un intorno in senso topologico, infatti abbiamo che ogni insieme del tipo N_{c,d} \supset N_{a,b} contiene ancora a ed è dunque ancora un suo intorno. Inoltre ogni intorno di a contiene un intorno di a che è anche intorno di ognuno dei suoi punti. Resta solo da verificare che l’intersezione di due intorni di un medesimo a è ancora un intorno di a, ma anche questo è semplice da verificarsi, infatti dati a,b,c \in \ZZ con b,c > 0 abbiamo che:

    \begin{equation*} N_{a,b} \cap N_{a,c} = N_{a,\operatorname{m.c.m.}(b,c)} \end{equation*}

Possiamo quindi costruire su \ZZ la seguente topologia:

    \begin{equation*} \mathcal{T} = \{U \subseteq \ZZ \,|\, \exists a \in U, \; b \in \ZZ_{>0} \; N_{a,b} \subseteq U \}\cup\emptyset \end{equation*}

di cui osserviamo le due seguenti proprietà:

  1. Ogni insieme aperto U \neq \emptyset è infinito.
  2. Ogni insieme aperto U è anche chiuso, infatti:

        \begin{equation*} N_{a,b} = \ZZ \setminus \bigcup_{i=1}^{b-1}N_{a+i,b} \end{equation*}

    cioè è chiuso poiché complementare di un aperto (dell’unione di aperti …).

possiamo a questo punto concludere, infatti per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni intero, ad eccezione di \pm 1 e 0 ha dei fattori primi. Dunque ogni intero è contenuto in uno o più N_{0,p} con p primo. Cioè abbiamo ottenuto l’identità:

(3)   \begin{equation*} \ZZ \setminus \{1,-1\} = \bigcup_{p \text{ primo}}N_{0,p} \end{equation*}

Se l’insieme dei numeri primi fosse, per assurdo, finito l’insieme a destra dell’uguaglianza sarebbe chiuso, poiché unione finita di chiusi (proprietà 2), dunque l’insieme \{-1,1\} sarebbe aperto, ma questo contraddice la (proprietà 1). L’assurdo deriva dall’aver supposto finito l’insieme dei numeri primi.

Q.E.D.

E pure questa puntata è finita. Sto meditando su un eventuale “Numeri primi – #3“, ma ancora non ho raggiunto una decisione. Prendiamo pure questo come mezzo annuncio e salutiamoci alla prossima!

Bibliografia.

  1. Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes., Amer. Math. Monthly 62 (5): 353 (1955). DOI:10.2307/2307043.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.