Numeri primi – #2

Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà.
Martin Gardner

Dunque dunque, con il numero 1 avevamo messo da parte alcune dimostrazioni dell’infinità dei numeri primi. A questo punto, direi, che quel materiale ha fermentato abbastanza e possiamo aggiungere altra carne al fuoco (apprezzare la doppia metafora non coerente, con slittamento banale a vanvera).

Dopo la dimostrazione di Erdös, facciamo un salto indietro nel tempo e torniamo ad una dimostrazione in qualche modo classica, prelevata dalle idee di Pierre de Fermat. Per farlo cominciamo a dare la seguente definizione:

Def 3. Per \forall n \in \NN definiamo Numero di Fermat l’intero positivo della forma:

(1)   \begin{equation*} F_n = 2^{2^n} + 1 \end{equation*}

Aprendo una piccola cornice storica, Fermat ipotizzo che tutti i numeri di questa forma fosse primo, ma un matematico a caso, Eulero, tanto per dirne uno, osservò che:

  • Per n = 0, F_0 = 3, è primo!
  • Per n = 1, F_1 = 5, è primo!
  • Per n = 2, F_2 = 17, è primo!
  • Per n = 3, F_3 = 257, è primo!
  • Per n = 4, F_4 = 65537, è primo!
  • Per n = 5, F_5 = 4294967297, non è primo neanche per niente: F_5 = 641 \cdot 6700417

Chiusa la parentesi storica, torniamo al nostro problema ed enunciamo (e dimostriamo) il seguente teorema:

Teorema [Goldbach]. \forall n,n' \in N con n \neq n' si ha \operatorname{M.C.D.}(F_n,F_{n'})=1, ovvero due numeri diversi di Fermat sono sempre coprimi.

Dimostrazione. Proviamo in primo luogo, per induzione, che vale la relazione:

(2)   \begin{equation*} F_n = F_0 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} + 2 \;\; \forall n \geq 1 \end{equation*}

per n = 1 abbiamo che:

    \begin{equation*} F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5 = 2^1 + 1 + 2 = 5 . \end{equation*}

questo prova la base, supponiamo ora che sia vera la relazione per n e dimostriamolo per n+1, cioè vogliamo provare che:

    \begin{equation*} F_0 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \ldots \cdot F_{n-1} \cdot F_n + 2 = F_(n+1). \end{equation*}

Per farlo poniamo:

    \begin{eqnarray*} x = F_0 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \ldots \cdot F_{n-1}\\ y = F_0 \cdot F_1 * \cdot \ldots \cdot F_(n-1) \cdot F_n \end{eqnarray*}

Ci siamo dunque ridotti a provare che:  y + 2 = F_{n+1}. Osserviamo immediatamente che, per l’ipotesi induttiva si ha che:  y = x (x+2). E dunque ci siamo ridotti a mostrare che:  x (x+2) + 2 = F_{n+1}. Adesso, applicando di nuovo l’ipotesi induttiva abbiamo che:  x = F_{n - 2}, allora:

    \begin{equation*} \begin{split} x  (x+2) + 2 = & [(F_{n - 2})  ((F_{n - 2} + 2)] + 2 = \\ = & [(F_{n - 2}  F_n] + 2 =  \\ = & (F_n)^2 - 2F_n + 2 = \\ = & (2^{2^n} + 1)  (2^{2^n} + 1) - 2  (2^{2^n} + 1) + 2  =  \\ = & 2^{2^n}  2^{2^n} + 2\cdot 2^{2^n} + 1 - 2 \cdot 2^{2^n} - 2 + 2 = \\ = & 2^{2^n} \cdot 2^{2^n} + 1 = 2^{2^n + 2^n} + 1 = \\ = & 2^{2\cdot (2^n)} + 1 = \\ = & 2^{2^{n+1}} + 1 = F_{n+1} \end{split} \end{equation*}

Con questo abbiamo praticamente completato la dimostrazione, ora ci resta solo da supporre,per assurdo, che per 0 \leq i < j \exists \; a > 1 tale che a | F_i e a | F_j, per l’identità che abbiamo appena provato si ha che a deve necessariamente dividere F_0\cdot \ldots \codt F_{j-1}, sia F_j, cioè deve dividere la loro differenza, ovvero a deve dividere 2, ma questo implica che a = 2, ma questo è assurdo! I numeri di Fermat sono, chiaramente, tutti dispari.

Q.E.D.

A questo punto la dimostrazione dell’infinità dei primi è presto ottenuta:

Dimostrazione 3. Per il teorema fondamentale dell’aritmetica abbiamo che \forall n \in N esiste un primo p_n | F_n e per il teorema di Goldbach, questo p_n non divide nessun F_{n'} per n \neq n', dunque il numero dei p_n e maggiore o uguale del numero degli F_n, ma questi sono infiniti, dunque abbiamo concluso.

Q.E.D.

Proseguiamo con l’ultima dimostrazione dell’infinità dei primi di questa carrellata. Questa è a base di topologia ed è stata proposta da Harry Fürstenberg nel 1955 [1], di tutte quelle viste è l’unica che probabilmente richiede strumenti di matematica avanzata (diciamo extra-liceo):

Dimostrazione 4. Sia \ZZ l’insieme dei numeri interi, positivi, negativi e lo 0. Consideriamo gli elementi a,b \in \ZZ con b>0 e definiamo gli insiemi a due indici:

    \begin{equation*} N_{a,b} = \{ a + nb \;|\; n \in \ZZ\} \end{equation*}

Osserviamo immediatamente che N_{a,b} è una progressione aritmetica che si sviluppa in ambo i versi e che, inoltre, \forall b si ha che a \in N_{a,b}, il che dovrebbe iniziare a ricordarci l’idea di un intorno in senso topologico, infatti abbiamo che ogni insieme del tipo N_{c,d} \supset N_{a,b} contiene ancora a ed è dunque ancora un suo intorno. Inoltre ogni intorno di a contiene un intorno di a che è anche intorno di ognuno dei suoi punti. Resta solo da verificare che l’intersezione di due intorni di un medesimo a è ancora un intorno di a, ma anche questo è semplice da verificarsi, infatti dati a,b,c \in \ZZ con b,c > 0 abbiamo che:

    \begin{equation*} N_{a,b} \cap N_{a,c} = N_{a,\operatorname{m.c.m.}(b,c)} \end{equation*}

Possiamo quindi costruire su \ZZ la seguente topologia:

    \begin{equation*} \mathcal{T} = \{U \subseteq \ZZ \,|\, \exists a \in U, \; b \in \ZZ_{>0} \; N_{a,b} \subseteq U \}\cup\emptyset \end{equation*}

di cui osserviamo le due seguenti proprietà:

  1. Ogni insieme aperto U \neq \emptyset è infinito.
  2. Ogni insieme aperto U è anche chiuso, infatti:

        \begin{equation*} N_{a,b} = \ZZ \setminus \bigcup_{i=1}^{b-1}N_{a+i,b} \end{equation*}

    cioè è chiuso poiché complementare di un aperto (dell’unione di aperti …).

possiamo a questo punto concludere, infatti per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni intero, ad eccezione di \pm 1 e 0 ha dei fattori primi. Dunque ogni intero è contenuto in uno o più N_{0,p} con p primo. Cioè abbiamo ottenuto l’identità:

(3)   \begin{equation*} \ZZ \setminus \{1,-1\} = \bigcup_{p \text{ primo}}N_{0,p} \end{equation*}

Se l’insieme dei numeri primi fosse, per assurdo, finito l’insieme a destra dell’uguaglianza sarebbe chiuso, poiché unione finita di chiusi (proprietà 2), dunque l’insieme \{-1,1\} sarebbe aperto, ma questo contraddice la (proprietà 1). L’assurdo deriva dall’aver supposto finito l’insieme dei numeri primi.

Q.E.D.

E pure questa puntata è finita. Sto meditando su un eventuale “Numeri primi – #3“, ma ancora non ho raggiunto una decisione. Prendiamo pure questo come mezzo annuncio e salutiamoci alla prossima!

Bibliografia.

  1. Harry Fürstenberg, On the infinitude of primes., Amer. Math. Monthly 62 (5): 353 (1955). DOI:10.2307/2307043.

The Casual Vacancy – J.K. Rowling

“For him, the town was an ideal, a way of being; a micro-civilization that stood firmly against a national decline.”

(Per lui, la città era un ideale, un modo di essere; una micro-civilizzazione che resisteva inalterabile al declino nazionale.)

Il nuovo romanzo di J.K. Rowling, già autrice della saga di Harry Potter, è stata veramente una sorpresa piacevole. Dalle recensioni e le bordate di critiche partite preventive mi aspettavo un quasi disastro, mai minimamente all’altezza delle fatiche precedenti. [singlepic id=460 w=200 h=310 float=left] Ed ecco che, nonostante l’esser partito prevenuto, ho trovato un romanzo ben costruito: due funerali, un consiglio comunale e un “fantasma” che infesta un sito web.

Il primo aggettivo da dedicare all’opera è: onesta. Una storia ben congegnata e di ampio respiro, con un occhio di riguardo per una costruzione, a tutto tondo, dei personaggi. L’esperienza accumulata nel mettere insieme una trama piuttosto intricata riesce a farsi sentire anche in questa nuova fatica. L’insieme di questi accorgimenti rende la lettura piacevole e lasciando la curiosità aperta sul finale, per tutto il libro.

Scendendo un po’ più in dettaglio, la prima cosa che salta alla vista è il ruolo fondamentale dei teenager come motore dell’azione. Sia chiaro, non stiamo parlando di una storia per ragazzi, siamo comunque orientati a tematiche più adulte. Tuttavia sono proprio loro, i giovani, a mettere in moto l’azione del libro o, per essere un po’ più espliciti, a mettere il sale sulle ferite aperte della piccola comunità di Pagford. Per questo sono sempre loro che, alla fine, subiscono anche il peso di quello che hanno scatenato. Più di questo, sulla trama, non voglio raccontare. Se delineo troppo vi brucio le sorprese e, data la costruzione del romanzo, questo sarebbe proprio un affronto ai vostri diritti di lettori.

Se cercate un buon romanzo, per un impegno di lettura ben bilanciato tra la lettura da tematiche “da grandi” e l’occasione di leggere una bella storia, questo è sicuramente da prendere in considerazione. Chiudo con una piccola citazione musicale dal libro:

httpv://www.youtube.com/watch?v=CvBfHwUxHIk

e due righe su uno dei personaggi chiave:

Krystal’s slow passage up the school had resembled the passage of a goat through the body of a boa constrictor, being highly visible and uncomfortable for both parties concerned.

Buona lettura!

Recensione pubblicata anche su: http://www.lalibreriaimmaginaria.it

Toccata & Fuga – ZappAttori

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Sinossi.
Toccata e Fuga (1982) è una brillante commedia degli equivoci. Due coppie di amici, sposate oramai da molto tempo, si trovano invischiate in un torbido intreccio di dissimulazione e tradimenti. Bruno, marito di Ilaria, approfitta dell’obbligo, impostogli dalla moglie, di andare a fare jogging, ogni mercoledì sera, per intrattenersi con la sua amante Linda, molto più giovane di lui, nell’appartamento lasciatogli libero dal suo migliore amico: Giorgio. Questi, approfittando invece dell’assenza della moglie Jessica, impegnata con le sue sfilate di moda, e di quella di Bruno, impegnato con Linda, intrattiene i suoi mercoledì sera con Ilaria. La situazione va avanti a questo modo oramai da qualche mese, ma una sera il ritorno improvviso di Jessica, che scopre Bruno e Linda in casa sua, mette in moto una cascata di eventi, bugie e finzioni che trasforma l’adulterio in una faticosissima farsa. Lo scioglimento arriverà al culmine di una scena di puro delirio in cui uno dei personaggi chiuderà lo spettacolo con un ultimo inaspettato colpo di scena.

Note di Regia.
Un divertente gioco di entrate e uscite, pause, scene ripetute e scuse poco credibili, questo è quello che ci viene proposto dagli ZappAttori tramite la scoppiettante commedia di Derek Benfield. Il sipario si apre su due appartamenti diversi che però sono accostati. Solamente l’alternarsi delle vicende, talora l’una specchio dell’altra, è elemento comune per entrambi i salotti.
Lo spettatore dovrà tenere ben presente questa simmetria perché la vicenda si svolgerà, anch’essa simmetrica, ora da una parte, ora dall’altra, qualche volta anche contemporaneamente nei due locali con un ritmo incalzante e un umorismo brillante. Al centro della commedia due coppie di amici, sposati da lungo tempo, che si tradiscono reciprocamente. Jessica è la moglie di Giorgio e grande amica di Ilaria, la quale è sposata con Bruno ed è l’amante di Giorgio, mentre Bruno è l’amante di Linda, una provocante casalinga, infermiera, commessa. Gli ingredienti sono quelli classici che connotano le commedie più intriganti: tradimento, fughe d’amore e situazioni paradossali, in questa storia però, l’adulterio praticato dai personaggi, l’uno nei confronti dell’altro, si rivela più complicato e stressante di quanto credevano. Gli equivoci sono i protagonisti indiscussi che portano a situazioni insostenibili in un climax ascendente di incomprensioni e risate.

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Informazioni.

Giorno: Sabato 1 Dic. ore 21.00 e Domenica 2 Dic. ore 18.00
Luogo: Teatro Aurelio, (Via S. Pio V, 4, Roma)
Prezzi: 8 € (Intero) 6 € (Over 65 – Under 12) + 2 € Tessera Associativa Teatro (per chi ne fosse sprovvisto)
Evento Facebook: http://www.facebook.com/events/488821414483391/
Informazioni sugli ZappAttori: http://zappattori.altervista.org

Cast:

Linda – Martina Malfitana
Bruno – Edoardo Massa
Ilaria – Emanuela Larosa
Giorgio – Daniele Fabbri
Jessica – Lucrezia Coletti

Scene costumi e trucco: Eleonora Casciani
Datore luci e audio: Fabio Durastante

Traduzione: Maria Teresa Petruzzi

La rappresentazione dell’opera è per gentile concessione della Concessionari Associati S.r.L. (Roma)