Soluzioni di 2 quesiti dalla 2° Prova di Matematica.

Nonostante io sia uscito da un po’ dal delirio liceale mi diverto sempre a buttare uno sguardo ai quesiti della prova di matematica. Ogni anno rilevano qualche bella sorpresa riguardo ciò che uno studente dovrebbe inventarsi lì per lì. Quest’anno la mia attenzione se la sono guadagnata i due seguenti quesiti:

  1. L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.
  2. Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

Cominciamo a risolvere il primo. Per farlo abbiamo necessariamente bisogno di un argomento matematico noto come “Procedimento Diagonale di Cantor“, che veramente pochi studenti del liceo avranno visto. Comunque, cominciamo con ordine rispolverando le definizioni che servono:

Def. 1: Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) o sono equipotenti se è possibile stabilire tra di essi una corrispondenza biunivoca.

Def. 2: Un insieme si dice avere la potenza del numerabile (o che è numerabile) se si può porre in corrispondenza biunivoca con \NN.

Possiamo quindi riformulare il problema come:

Thm. L’insieme \QQ dei numeri razionali ha la potenza del numerabile.

Dim. Dobbiamo quindi costruire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali \NN e \QQ. Per farlo procediamo nel seguente modo, disponiamo tutti gli elementi di \QQ nel seguente modo:

(1)   \begin{equation*} \begin{tabular}{ccccccc} $\displaystyle \frac{1}{1}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle\frac{1}{3}$ & $\displaystyle\frac{1}{4}$ & $\displaystyle\frac{1}{5}$ & $\displaystyle\frac{1}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{2}{1}$ & $\displaystyle\frac{2}{2}$ & $\displaystyle\frac{2}{3}$ & $\displaystyle\frac{2}{4}$ & $\displaystyle\frac{2}{5}$ & $\displaystyle\frac{2}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{3}{1}$ & $\displaystyle\frac{3}{2}$ & $\displaystyle\frac{3}{3}$ & $\displaystyle\frac{3}{4}$ & $\displaystyle\frac{3}{5}$ & $\displaystyle\frac{3}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\ \end{tabular}\end{equation*}

a questo punto mettiamo in moto l’intuizione geniale di Cantor, consideriamo le diagonali D_j, se chiamiamo a_{i,j} gli elementi della tabella di riga i-\text{ma} e colonna j-\text{ma} abbiamo che le diagonali sono del tipo:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} D_j = & \left\lbrace a_{j,1},a_{j-1,2},a_{j-2,3},\ldots \right\rbrace = \\ = & \left\lbrace a_{h,k} \, | \, h+k=j+1 \right\rbrace \end{split} \end{equation*}

a questo punto osserviamo che ogni elemento a_{h,k} appartiene ad una ed una sola diagonale (precisamente alla diagonale D_{h+k-1}) e stabiliamo la seguente corrispondenza tra gli elementi \QQ ed \NN, prestando attenzione di far seguire ad ogni elemento presente nella tabella il suo opposto (così esauriamo sia gli \QQ positivi che quelli negativi):

(3)   \begin{equation*}\begin{tabular}{ccccccc} 0 & \displaystyle \frac{1}{1} & \displaystyle - \frac{1}{1} & \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle - \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{2}{1}  & \ldots \\ \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  & \ldots \end{tabular}\end{equation*}

Volendo fare uno disegno chiarificatore del procedimento:

Abbiamo quindi costruito un’applicazione biunivoca tra \QQ ed \NN, allora per la def. 1 abbiamo ottenuto che \QQ ha la potenza del numerabile.

Q.E.D.

Passiamo a risolvere ora il problema di Erone, questo si può dimostrare almeno in due modi, o per meglio dire mi sono venuti in mente per ora due modi per dimostrarlo. Il primo, che scarterò subito dopo averlo detto, è di parametrizzare tutto in modo analitico, scriversi un generico punto P \in r e parametrizzare come f(x) = d(A,P) + d(B,P), farne la derivata, verificare dove ha un minimo e fissare così le coordinate del punto P. Non ci ho provato, ma sicuramente questo porta alla soluzione in un tempo finito (modulo errori di calcolo e derivate di radici). L’altra strada, che prediligo, consiste nel ricordarsi che sul piano euclideo la retta minimizza la distanza tra due punti. Riflettere il punto B rispetto alla retta r e chiamarlo B' tracciare il segmento \overline{AB'} e chiamare C = \overline{AB'} \cap r. A questo punto si osserva che, detto E = \overline{BB'}\cap r, i triangoli BCE e B'CE sono congruenti ed è fatta. Per chi ha un po’ di dimestichezza con l’ottica abbiamo praticamente ri-dimostrato il principio di Fermat sugli angoli di riflessione, per un raggio di luce incidente su uno specchio.

Il seguente disegno è chiarificante dei passaggi descritti:

Cliccando sull’immagine si scarica il file geogebra modificabile in cui si possono muovere i punti A e B e vedere come cambia lunghezza del tragitto da A a B spostando il punto C' sulla retta r rispetto a quello ottimale.

Per curiosità, se qualche maturando passa di qui e legge, fatemi sapere quanti conoscevano il Procedimento Diagonale di Cantor per averlo fatto a lezione. Perché tolti quelli, sinceramente, dubito che qualcun altro se lo sia inventato lì per lì. Se l’avete fatto appena finite con la maturità correte ad iscrivervi ad una facoltà di matematica.

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