Il Paradosso della Ruota di Aristotele

Dopo aver proposto l’ultima volta la soluzione al problema dell’equipotenza di \mathbb{Q} ed \mathbb{N} mi è tornato in mente il Paradosso della Ruota di Aristotele, ora che sia stato veramente proposto da Aristotele è tutto da dimostrare, ma per mantenere un po’ di notazione storica continuiamo pure a chiamarlo così. Osservate il seguente disegno:

Il Paradosso di Aristotele

Notata la “magagna”? Consideriamo la ruota marrone, formata di due cerchi concentrici, il mozzo e il cerchione vero e proprio, in particolare fissiamo l’attenzione sulla traiettoria percorsa da i punti P_1 e P_2. Mentre la ruota gira questi compiono la medesima traiettoria rettilinea! Ovvero se costruiamo un’applicazione (una funzione se vi piace di più) che associa ad ogni punto della ruota che gira il punto del segmento, rosso o blu, percorso rispettivamente da P_1 e da P_2 abbiamo costruito un’applicazione suriettiva ed iniettiva tra le due circonferenze ed il medesimo segmento, ovvero abbiamo appena dimostrato che circonferenze di raggio diverso hanno la stessa lunghezza!. Questo è quello che si dice un disastro completo!

I più squisitamente fisici obietteranno subito che P_2 compie un moto traslatorio, mentre P_1 ne compie uno rotatorio e questo dovrebbe già metterci tutti in allarme, ma cerchiamo una risposta che sia prettamente matematica.

La domanda giusta da porsi è: l’esistenza dell’applicazione f : S^1 \rightarrow I che è suriettiva e iniettiva cosa ci dimostra in realtà? Dimentichiamoci per un momento del concetto di lunghezza e torniamo agli insiemi, per la definizione 1 che abbiamo dato l’altra volta, abbiamo che l’esistenza della f ci garantisce che le cardinalità degli insiemi:

(1)   \begin{eqnarray*} S^1_{r_1} =&  \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_1^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2 \\ S^1_{r_2} =& \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x^2 + y^2 = r_2^2 \right\rbrace  \subseteq \mathbb{R}^2\\ I =&  \left\lbrace  x \in \mathbb{R} \, | \,  0 \leq x \leq 2\pi r_2 \right\rbrace \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}

è la medesima, e questo non implica nulla sulla lunghezza! Infatti possiamo dimostrare in modo molto agevole che ogni sottoinsieme di \mathbb{R} che contiene un intervallo (in generale di \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n-\text{volte}}) ha la cardinalità di ogni altro sottoinsieme di \mathbb{R} con la stessa proprietà (in generale di \mathbb{R}^n). Per quello che ci interessa ci basta farlo per un qualunque intervallo di \mathbb{R}, ed è oltremodo semplice, basta infatti costruire una mappa come illustrato in questo disegno:

Equipotenza dei sottinsieme di R

Prendiamo il nostro intervallo I = [a,b], consideriamo il punto Q = \left( \frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2} \right) e la semicirconferenza di raggio \frac{a+b}{2} centrata in Q che chiamiamo C, adesso consideriamo l’applicazione: \varphi : I \rightarrow C che manda ogni punto P \in I in un punto P' \in C nel seguente modo, si traccia la retta perpendicolare ad I e passante per P, questa interseca la semicirconferenza in un punto P' che è proprio quello cercato. Ci vuol poco a vedere che \varphi è biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi l’intervallo I possiede un numero di punti uguale a quello della circonferenza. Adesso costruiamo la seconda mappa \psi, consideriamo la retta passante per Q e P', questa incontrerà l’asse reale in un unico punto P'' \in \mathbb{R} per ogni punti P' \in C che proviene da un unico punto P \in I. Si vede facilmente che anche questa mappa è biettiva ed è fatta: la mappa \psi \circ \varphi : I \rightarrow \mathbb{R} è la mappa cercata tra un intervallo di \mathbb{R} ed \mathbb{R} stesso.

In questo modo ci siamo spiegati perché quelle due circonferenze sono uguali ad un medesimo segmento e in che senso dobbiamo interpretare la parola uguali in questo caso. Adesso non ci resta che capire perché questo non si adegua al nostro concetto di lunghezza, ovvero dobbiamo prenderci di coraggio e ammettere che l’idea intuitiva di lunghezza come “n° di punti tra A e B” è fin troppo ingenua. Come si fa di solito in matematica diamo una definizione di lunghezza opportuna e constatiamo che questa verifica le proprietà che uno ragionevolmente si aspetta (restringiamoci al piano che è meno pesante da scrivere, si generalizza facilmente allo spazio e a qualsiasi dimensione superiore).

Def. 1 Dati due punti A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2 definiamo lunghezza del segmento A,B la seguente quantità:

(2)   \begin{equation*} L(A,B) = |A - B| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \end{equation*}

Con un paio di facile verifiche, che possono essere tranquillamente lasciate all’audace lettore (era una vita che volevo scriverlo…), si dimostra, diciamo pure si osserva, che se L(A,B) \geq 0 e che L(A,B) = 0 \Leftrightarrow A = B. Che sono due cose che ci piacciano e sono coerenti con l’idea di lunghezza che abbiamo in testa. Adesso però dobbiamo dare, in qualche modo, l’idea di lunghezza di una curva regolare (regolare in questo caso vuol dire che si può disegnare sul foglio senza staccare la penna, senza troppi spigoli puntuti e che non si ingarbugli troppo, qualcosa di idealmente simile alla circonferenza …).

Cominciamo ad osservare che possiamo rappresentare una curva, nei casi buoni di cui stiamo parlando (esistono cose che rientrano comunque sotto il nome di curva e che non ci verrebbe in mente mai di chiamare in questo modo) come un’applicazione: f : I = [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2, di cui il disegno che abbiamo in mente è rappresentato dal sottoinsieme f(I) \subseteq \mathbb{R}^2. Adesso per dire quanto è lunga la curva dobbiamo combinare in modo opportuno la definizione di lunghezza. Consideriamo un insieme di n+1 valori in [a,b] che chiamiamo una partizione così fatto:

(3)   \begin{equation*} a = t_0 < t_1 < \ldots < t_{n-1} < t_n = b \end{equation*}

a cui sono associati i punti P_i sulla curva nel modo ovvio, ovvero P_i = f(t_i) = (f_1(t_i),f_2(t_i)) \forall i = 0,\ldots,n, per farci un’idea basta guardare il seguente disegno:

in cui c’è anche rappresentato come andremo avanti, infatti consideriamo ora la spezzata, poligonale, che collegano i P_i punti, questi sono segmenti, possiamo dunque applicare la nostra definizione di lunghezza e definire la lunghezza della nostra poligonale f_p:

(4)   \begin{equation*} L(f_p) = \sum_{i=0}^{n-1}L(P_i,P_{i+1}) \end{equation*}

La nostra poligonale è un’approssimazione di quella che intendiamo come lunghezza della curva e guardando un po’ il disegno, facendo qualche prova e scribacchiando qualche conto, ci accorgiamo quasi subito che se aumentiamo il numero di punti in cui dividiamo l’intervallo I la L(f_p) si avvicina alla lunghezza effettiva della curva. Nelle ipotesi di regolarità che abbiamo detto possiamo essere sicuri che tutto questo è formalmente corretto ed ha un senso, quindi possiamo ottenere la lunghezza delle nostra curva come limite per n \rightarrow \infty delle lunghezze delle poligonali.

Adesso possiamo far entrare in scena il deus ex machina, quando questo ragionamento che abbiamo fatto ha senso, possiamo scrivere la lunghezza della curva come:

(5)   \begin{equation*} L(f) = \int_{a}^{b} \sqrt{f'_1(t)^2 + f'_2(t)^2}dt \end{equation*}

dove gli apici rappresentano le derivate prime. Per quanto riguarda la circonferenza da cui eravamo partiti basta costruire la curva circonferenza di raggio R come:

(6)   \begin{eqnarray*} f : I = [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2 \\ f(t) = \left\lbrace \begin{array}{c} x = f_1(t) = R\cos(t)\\ y = f_2(t) = R\sin(t) \end{array}\right. \end{eqnarray*}

se ci si mette con un po di pazienza ad applicare la formula (5) a questo caso si ottiene il noto risultato sulla lunghezza della circonferenza.

Aristotele, o chi per lui, aveva posto veramente un gran bel problema per l’intuizione. Un problema la cui soluzione è piuttosto elaborata e comprende il ricordo di ragionamenti all’infinito, che è come al solito un compagno ingannevole, e qualche domanda non banale su quello che pensiamo essere una lunghezza.

Soluzioni di 2 quesiti dalla 2° Prova di Matematica.

Nonostante io sia uscito da un po’ dal delirio liceale mi diverto sempre a buttare uno sguardo ai quesiti della prova di matematica. Ogni anno rilevano qualche bella sorpresa riguardo ciò che uno studente dovrebbe inventarsi lì per lì. Quest’anno la mia attenzione se la sono guadagnata i due seguenti quesiti:

  1. L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta.
  2. Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.C.) consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad un retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce.

Cominciamo a risolvere il primo. Per farlo abbiamo necessariamente bisogno di un argomento matematico noto come “Procedimento Diagonale di Cantor“, che veramente pochi studenti del liceo avranno visto. Comunque, cominciamo con ordine rispolverando le definizioni che servono:

Def. 1: Si dice che due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) o sono equipotenti se è possibile stabilire tra di essi una corrispondenza biunivoca.

Def. 2: Un insieme si dice avere la potenza del numerabile (o che è numerabile) se si può porre in corrispondenza biunivoca con \NN.

Possiamo quindi riformulare il problema come:

Thm. L’insieme \QQ dei numeri razionali ha la potenza del numerabile.

Dim. Dobbiamo quindi costruire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri naturali \NN e \QQ. Per farlo procediamo nel seguente modo, disponiamo tutti gli elementi di \QQ nel seguente modo:

(1)   \begin{equation*} \begin{tabular}{ccccccc} $\displaystyle \frac{1}{1}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle\frac{1}{3}$ & $\displaystyle\frac{1}{4}$ & $\displaystyle\frac{1}{5}$ & $\displaystyle\frac{1}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{2}{1}$ & $\displaystyle\frac{2}{2}$ & $\displaystyle\frac{2}{3}$ & $\displaystyle\frac{2}{4}$ & $\displaystyle\frac{2}{5}$ & $\displaystyle\frac{2}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\displaystyle\frac{3}{1}$ & $\displaystyle\frac{3}{2}$ & $\displaystyle\frac{3}{3}$ & $\displaystyle\frac{3}{4}$ & $\displaystyle\frac{3}{5}$ & $\displaystyle\frac{3}{6}$ & $\ldots$ \\ \\ $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$\\ \end{tabular}\end{equation*}

a questo punto mettiamo in moto l’intuizione geniale di Cantor, consideriamo le diagonali D_j, se chiamiamo a_{i,j} gli elementi della tabella di riga i-\text{ma} e colonna j-\text{ma} abbiamo che le diagonali sono del tipo:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} D_j = & \left\lbrace a_{j,1},a_{j-1,2},a_{j-2,3},\ldots \right\rbrace = \\ = & \left\lbrace a_{h,k} \, | \, h+k=j+1 \right\rbrace \end{split} \end{equation*}

a questo punto osserviamo che ogni elemento a_{h,k} appartiene ad una ed una sola diagonale (precisamente alla diagonale D_{h+k-1}) e stabiliamo la seguente corrispondenza tra gli elementi \QQ ed \NN, prestando attenzione di far seguire ad ogni elemento presente nella tabella il suo opposto (così esauriamo sia gli \QQ positivi che quelli negativi):

(3)   \begin{equation*}\begin{tabular}{ccccccc} 0 & \displaystyle \frac{1}{1} & \displaystyle - \frac{1}{1} & \displaystyle \frac{1}{2} & \displaystyle - \frac{1}{2} & \displaystyle \frac{2}{1}  & \ldots \\ \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  & \ldots \end{tabular}\end{equation*}

Volendo fare uno disegno chiarificatore del procedimento:

Abbiamo quindi costruito un’applicazione biunivoca tra \QQ ed \NN, allora per la def. 1 abbiamo ottenuto che \QQ ha la potenza del numerabile.

Q.E.D.

Passiamo a risolvere ora il problema di Erone, questo si può dimostrare almeno in due modi, o per meglio dire mi sono venuti in mente per ora due modi per dimostrarlo. Il primo, che scarterò subito dopo averlo detto, è di parametrizzare tutto in modo analitico, scriversi un generico punto P \in r e parametrizzare come f(x) = d(A,P) + d(B,P), farne la derivata, verificare dove ha un minimo e fissare così le coordinate del punto P. Non ci ho provato, ma sicuramente questo porta alla soluzione in un tempo finito (modulo errori di calcolo e derivate di radici). L’altra strada, che prediligo, consiste nel ricordarsi che sul piano euclideo la retta minimizza la distanza tra due punti. Riflettere il punto B rispetto alla retta r e chiamarlo B' tracciare il segmento \overline{AB'} e chiamare C = \overline{AB'} \cap r. A questo punto si osserva che, detto E = \overline{BB'}\cap r, i triangoli BCE e B'CE sono congruenti ed è fatta. Per chi ha un po’ di dimestichezza con l’ottica abbiamo praticamente ri-dimostrato il principio di Fermat sugli angoli di riflessione, per un raggio di luce incidente su uno specchio.

Il seguente disegno è chiarificante dei passaggi descritti:

Cliccando sull’immagine si scarica il file geogebra modificabile in cui si possono muovere i punti A e B e vedere come cambia lunghezza del tragitto da A a B spostando il punto C' sulla retta r rispetto a quello ottimale.

Per curiosità, se qualche maturando passa di qui e legge, fatemi sapere quanti conoscevano il Procedimento Diagonale di Cantor per averlo fatto a lezione. Perché tolti quelli, sinceramente, dubito che qualcun altro se lo sia inventato lì per lì. Se l’avete fatto appena finite con la maturità correte ad iscrivervi ad una facoltà di matematica.

Ars Amatoria – Ovidio

http://www.lalibreriaimmaginaria.it/2012/06/ars-amatoria-ovidio/

Quod iuvet, ex aequo femina virque ferant.
Odi concubitus qui non utrumque resolvunt.

Torno di nuovo a chiacchierare amabilmente, recensire un’opera del genere mi sembra sempre troppo immodesto, di un classico: l’Ars Amatoria di Publio Ovidio Nasone (per i feticisti delle date: Sulmona, 20 marzo 43 a.C. – Tomi, 17) . Permettendomi di dire qualcosa al riguardo e di parlare di qualcosa all’intorno. Cominciamo dall’intorno procedendo verso il centro: i classici non li leggono solo i laureandi/ti in lettere o in filosofia. Oramai è un po’ di tempo che mi aggiro per la metro con la raccolta de “I Classici del Pensiero Latino e Greco” messa in vendita dal Corriere e mi è capitato più volte che mi si chiedesse se studiavo lettere, la risposta è no, ma sostanzialmente non è questo il problema. Il problema è che, a quanto pare, nella percezione generale i classici sono materiale da addetti ai lavori che,anche se in un certo senso può essere vero, non ne limita l’uso in esclusiva ai letterati. Chiunque, con un minimo di sensibilità e praticità con la lettura, può cimentarcisi: non mordono, non diventerete ciechi leggendoli e avranno anche qualcosa da dirvi. Levato anche questo macigno dalla scarpa passiamo oltre.

Probabilmente in quest’ottica di fruibilità della letteratura il Corriere ha deciso di mettere in vendita questi edizioni a basso prezzo (1 € + il costo della rivista che non ricordo), sono le ristampe delle medesime edizione BUR, spogliate della loro prefazione originale e con una in versione ridotta preparata ad-hoc per questa edizione. Iniziativa ammirabile che però, si c’è sempre il però, ha qualche pecca:

  • Con l’occasione della ristampa non hanno approfittato per correggere gli errori presenti nelle edizioni originali BUR (ex. Le Bucoliche di Virgilio hanno la stessa doppia pagina in latino non tradotta dell’edizione originale);
  • Hanno pubblicato tutta una serie di opere “smangiucchiate”, capisco che volessero ridurre il numero delle pagine per mantenersi nel prezzo di 1 €, ma che senso ha pubblicare solo il primo libro della Metafisica di Aristotele? Oppure solo le prime due Verrine di Cicerone? Per non parlare dei libri scelti un po’ a caso della Guerra Civile di Cesare o de La Guerra del Peloponneso di Tucidide? Sarebbe stato meglio optare per qualche opera minore o di qualche autore meno noto, ma che almeno fosse completa.

Finito di girarci attorno, torniamo all’opera in oggetto: l’Ars Amatoria di quel furbacchione di Ovidio, l’opera la cui [singlepic id=448 w=200 h=312 float=right]licenziosità, se vogliamo abbandonarci ad una visione poetica della realtà, gli costo l’esilio ad opera di Ottaviano o che, se vogliamo essere un filino più realistici, servi da pretesto per eliminare il Poeta, impegnato in torbidi affari con la nipote dell’imperatore, a quanto si sospetta questioni di letto e congiure. Quale che sia la vostra interpretazione preferita, questo è uno di quei libri con una bella storia dietro oltre che dentro. L’Ars Amatoria è divisa in tre libri, due dedicati agli uomini ed uno dedicato alle donne, anche se, a dirla tutta, il primo dei tre è quasi più concentrato sull’amore in genere e sul dare qualche lume sui luoghi d’incontro della Roma Imperiale. Dietro ad ogni verso si percepisce e, se ci si lascia un po’ coinvolgere, si riesce a vedere, Ovidio che ride sornione, strizzando l’occhio e con galanteria tocca qua e la argomenti scabrosi, tirando in ballo gli dei, i miti e accennando, più probabilmente simulando, qualche racconto personale. Al di là di qualche tratto tipicamente maschilista alla romano duro e puro, donne carpite con la violenze, il Ratto delle Sabine e qualche amplesso decisamente troppo focoso, tra i versi si aprono scorci su una visione della sessualità che possiamo quasi considerare tra le conquiste del ‘900, a titolo di esempio la citazione in apertura:

Portino insieme l’uomo e la sua donna pari concorso al gaudio dell’amplesso.
Odio l’abbraccio che non dà languore all’una e all’altro insieme.

Oppure ancora:

Correte a fianco a fianco, fino alla meta. Il godimento è pieno quando,
vinti ad un tempo, tu e lei soccomberete insieme.

Siamo sempre in date che vanno tra l’1-3 d.C., tanto per dire: in Galilea si lapidavano le adultere. A tutto questo ci sono da aggiungere consigli sulle pettinature, i luoghi d’incontro, gli abiti più adatti, come scambiarsi messaggi tramite le serve e come sfuggire al controllo di mariti gelosi e padri protettivi. Anche qualche accenno dai filtri d’amore, a base di erbe della tracia e liquidi non meglio precisati di cavalle in calore, ai belletti a base di terre pregiate, sterco di coccodrillo e tanti altri bizzarri rimedi.

Una lettura piacevole, che scorre velocemente e ti lascia sempre con un sorriso divertito. Sempre concludendo a proposito di sorrisi un brando dall’album Sexus et Politica di Giorgio Gaber in cui il maestro ha messo in musica gli ultimi versi del terzo libro dell’Ars:

httpv://www.youtube.com/watch?v=iY6W49V52_o

Recensione pubblicata anche su: http://www.lalibreriaimmaginaria.it/