Il Teorema di Pitagora

“Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c’è un posto perenne per la matematica brutta.”

Godfrey Harold Hardy (1877 – 1947)

Non sono le 371 dimostrazioni raccolte da Elisha Loomis, ma ne ho raccolte alcune per puro gusto estetico. A chi va buona lettura.

Una dimostrazione Indiana

Tra le più antiche dimostrazioni del teorema che affonda le sue radici nella cultura indiana e si basa sull’equivalenza di aree, sarà sufficiente guardare la figura:

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Nella prima disposizione si vede il quadrato costruito sull’ipotenusa, nella seconda i quadrati costruiti sui due cateti, l’equivalenza della somma dei due con quello dell’ipotenusa deriva dall’aver solo spostato le parti della figura senza ridurne le dimensioni.

Q.E.D.

Una dimostrazione Cinese III a.C.

Questa è una dimostrazione che risale al Zhou bi suan jing, un trattato di astronomia e matematica cinese scritto nel periodo Han. Per illustrala è di nuovo sufficiente osservare i seguenti disegni:

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Si prendono quattro copie del primo triangolo rettangolo in figura, le si dispongono come nella seconda parte del disegno e ci si aggiunge un quadratino a riempire il buco, abbiamo così ottenuto il quadrato costruito sull’ipotenusa, fatto questo si ridispongono le cinque figure, i quattro triangoli e il quadratino, come nella terza parte della figura, ecco comparire i due quadrati costruiti sui cateti. Le due configurazioni hanno la stessa area perché costruite con gli stessi “pezzi”. Dunque il primo quadrato è uguale alla somma degli altri due.

Q.E.D.

La dimostrazione di Euclide III a.C.

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo retto eguaglia la somma dei quadrati dei lati che contengono l’angolo retto.

Prop. 48, Libro I – Elementi di Euclide

[singlepic id=206 w=320 h=240 float=left] Sia ABC un triangolo rettangolo con l’angolo  B\widehat{A}C retto. Voglio dimostrare che il quadrato costruito sul lato BC è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui lati AC e AB.  Si individuino i vertici dei quadrati con lettere come in figura e si tracci la parallela a BD o a CE passante per il punto A, si traccino inoltre i segmenti AD ed FC. Poiché gli angoli B\widehat{A}Ce B\widehat{A}G sono retti, si ha che con il segmento BA, e col punto A su di esso, i segmenti AC e AG non giacciono sullo stesso lato rendendo l’angolo a loro adiacente uguale a due angoli retti, perciò CA è allineato con AG (cioè i punti C,A,G sono sulla stessa linea retta). Similmente si ha che BA è allineato con AH (cioè i punti B,A,H sono sulla stessa linea retta). Poiché l’angolo D\widehat{B}C è uguale all’angolo F\widehat{B}A, ed ognuno dei due è uguale a novanta gradi,  aggiungendo l’angolo A\widehat{B}C ad ognuno si ha che tutto l’angolo D\widehat{B}A è uguale all’angolo F\widehat{B}C, perché somma di angoli congruenti. Poiché DB è uguale a BC, e FB è uguale a BA, i due lati AB e BD sono uguali, rispettivamente, ai due lati FB e BC, e l’angolo A\widehat{B}D è uguale all’angolo F\widehat{B}C, si ha che la base AD è uguale alla base FC, e il triangolo ABD è uguale al triangolo FBC. Ora il parallelogramma in BL è il doppio del triangolo ABD, poiché essi hanno la stessa base BD e sono contenuti tra i lati paralleli BD ed AL. Il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC, poiché, di nuovo, essi hanno in comune la stessa base FB e sono contenuti tra i lati paralleli FB e GC. Perciò il parallelogramma BL è uguale al quadrato in GB. Similmente, se AE e BK vengono collegati, il  parallelogrammo CL viene ad essere uguale al quadrato in  HC. Perciò tutto il quadrato BDEC è uguale alla somma dei due quadrati in GB ed in HC. E il quadrato BDEC è descritto su BC, e i quadrati GB ed HC sono descritti su BA e AC. Perciò il quadrato su BC è uguale alla somma dei quadrati su BA e AC.

Q.E.D.

Una dimostrazione del 1800

Questa volta ecco una dimostrazione in versi di Sir George Biddel Airy, settimo astronomo reale della Corona di Inghilterra, autore di diversi trattati scientifici e acuto osservatore del cielo, si è dilettato anche lui nella dimostrazione del teorema di Pitagora esprimendola con i seguenti versi:

[singlepic id=208 w=230 h=230 float=left] “I am, as you can see,

a^2 + b^2 - ab

When two triangles on me stand,

Square of hypothenuse is plann’d

But if I stand on them instead

The squares of both sides are read.

Se si guardano i due triangoli in basso si vede, tracciato in verde, il quadrato costruito sull’ipotenusa. Se si guardano i due triangoli in alto si vedono, sotto i cateti, i quadrati costruiti in rosso e in giallo.

Q.E.D.

La strada che porta alla realtà, una dimostrazione dall’omonimo libro di Penrose

Questa è una dimostrazione di quelle con qualche difficoltà intorno, particolari che si dovrebbero trattare con qualche attenzione in più, ma che tralascerò volutamente, perché mi porterebbero troppo lontano. Allora perché questa dimostrazione un po’ mutilata? Perché l’ho sempre trovata bella, sempre … da quando l’ho letta. Cominciamo con un primo disegno:

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tasselliamo il piano con due pezzi quadrati, di dimensione diversa. Come si vede è possibile in questo modo ricoprire interamente il piano. Adesso facciamo una seconda mossa, congiungiamo i centri di ognuno dei quadrati “grandi” con quello degli altri mettendoci nella seguente situazione:

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Abbiamo ottenuto degli altri quadrati, di dimensione maggiore di entrambi gli altri, che pur essendo “storti” riescono ancora a ricoprire tutto il piano. Ora resta da fare la terza, ed ultima, manovra. Trasliamo i quadrati facendo combaciare gli spigoli dei quadrati “storti” con quelli dei quadrati grandi e questo è quello che otteniamo:

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Cambiamo per un secondo punto di vista, guardiamo con attenzione i triangoli evidenziati in rosa scuro, ed ecco il Teorema di Pitagora che si mostra.  Le due grosse idee non dimostrate sono la tassellatura e l’esistenza dei quadrati. Ma con un po’ di attenzione e con uno sguardo agli Elementi di Euclide se ne esce.

Q.E.D. (o quasi)

Link&Bibliografia:

– Una Biografia di Pitagora dal sito: MacTutor History Of Mathematics;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione consultabile online;
– “Gli Elementi” di Euclide, versione scaricabile dal sito LiberLiber;
La Strada che Porta alla Realtà, le leggi fondamentali dell’universo, Roger Penrose.

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